Question

16．如圖所示，一根均質(zhì)繩質(zhì)量為M，其兩端固定在天花板上的A、B兩點，在繩的中點懸掛一重物，質(zhì)量為m，懸掛重物的繩PQ質(zhì)量不計．設(shè)α、β分別為繩子端點和中點處繩子的切線方向與豎直方向的夾角，則（　　）

• A． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{m+M}$
• B． $\frac{cosα}{cosβ}$=$\frac{m}{m+M}$
• C． $\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M}$
• D． $\frac{cosα}{cosβ}$=$\frac{m}{M}$

Answer 1

分析 先以整體為研究對象，根據(jù)平衡條件分析端點處對繩子的拉力與總重力的關(guān)系式；
再對左半邊繩子研究，得到端點和中點繩子的拉力的關(guān)系式；再采用比例法求解．

解答 解：設(shè)繩子端點處和中點處繩子張力大小分別為F₁、F₂．對整體研究，分析受力，如上圖所示，根據(jù)平衡條件得：F₁cosα=$\frac{1}{2}$（M+m）g…①，
對左半邊繩子研究得：
F₁cosα=F₂cosβ+$\frac{1}{2}$Mg…②，
F₁sinα=F₂sinβ…③，
由①②得到：F₂cosβ=$\frac{1}{2}$mg…④，
則由③：①得：tanα=$\frac{2F2sinβ}{（M+m）g}$…⑤，
由③：④得：tanβ=$\frac{{2{F_1}sinα}}{mg}$…⑥，
所以由③⑤⑥聯(lián)立得：$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{m}{M+m}$；
故選：A

點評 本題是力平衡問題，難點存在如何選擇研究對象和如何運用數(shù)學(xué)知識變形求解．
隔離法與整體法：
①整體法：以幾個物體構(gòu)成的整個系統(tǒng)為研究對象進行求解．在許多問題中用整體法比較方便，但整體法不能求解系統(tǒng)的內(nèi)力．
②隔離法：從系統(tǒng)中選取一部分（其中的一個物體或兩個物體組成的整體，少于系統(tǒng)內(nèi)物體的總個數(shù)）進行分析．隔離法的原則是選取受力個數(shù)最少部分的來分析．
③通常在分析外力對系統(tǒng)作用時，用整體法；在分析系統(tǒng)內(nèi)各物體之間的相互作用時，用隔離法．有時在解答一個問題時要多次選取研究對象，需要整體法與隔離法交叉使用．