Question

17．如圖所示，傾角為θ的傳送帶，以v₀的恒定速度按圖示方向運(yùn)動(dòng)．已知傳送帶上下兩端相距L，今將一與傳送帶間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ的滑塊A靜止放于傳送帶上端，求A從上端運(yùn)動(dòng)到下端的時(shí)間t．

Answer 1

分析 對(duì)物體受力分析，利用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的加速度，關(guān)鍵是討論L的大小和摩擦力的大小

解答 解：對(duì)物體受力分析可知
（1）當(dāng)mgsinθ＜μmgcosθ時(shí)，物體在斜面上的加速度為a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$
達(dá)到共同速度所需時(shí)間為t=$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}$
此時(shí)下滑的位移為x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
當(dāng)L≤x時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間由公式L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$可得t=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$
當(dāng)L≥x時(shí)，達(dá)到共同速度之后物體繼續(xù)隨傳送帶做勻速運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間為t$′=\frac{L-x}{{v}_{0}}=\frac{L}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
故經(jīng)歷的總時(shí)間為${t}_{總}=t+t′=\frac{L}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
（2）當(dāng)mgsinθ＞μmgcosθ時(shí)，物體在斜面上的加速度為a=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}=gsinθ+μgcosθ$
達(dá)到共同速度所需時(shí)間為t=$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}$
此時(shí)下滑的位移為x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$
當(dāng)L≤x時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間由公式L=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$可得t=$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$
當(dāng)L≥x時(shí)，達(dá)到共同速度之后物體繼續(xù)加速運(yùn)動(dòng)，加速度為a′$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=gsinθ-μgcosθ$
繼續(xù)加速所需時(shí)間為t″，則$L-x={v}_{0}t″+\frac{1}{2}a′t{″}^{2}$
解得t″=$\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$
故下滑總時(shí)間為${t}_{總}=t+t″=\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}+\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$
答：A從上端運(yùn)動(dòng)到下端的時(shí)間t為$\sqrt{\frac{2L}{gsinθ+μgcosθ}}$或$\frac{L}{{v}_{0}}+\frac{{v}_{0}}{2（gsinθ+μgcosθ）}$或$\frac{{v}_{0}}{gsinθ+μgcosθ}+\frac{-2{v}_{0}+\sqrt{{4v}_{0}^{2}-8（gsinθ-μgcosθ）（\frac{{v}_{0}^{2}}{2（gsinθ+μgcosθ）}-L）}}{2（gsinθ-μgcosθ）}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清木塊的運(yùn)動(dòng)情況，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解