Question

如圖所示為一種獲得高能粒子的裝置--環(huán)形加速器．環(huán)形區(qū)域內(nèi)存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)節(jié)．質(zhì)量為m、電量為+q的粒子可在環(huán)中做勻速圓周運(yùn)動．P、Q為相距很近的兩塊中心開有小孔的極板，最初兩極板電勢都為零，每當(dāng)粒子飛至P板時(shí)，P板電勢變?yōu)?U，Q板電勢仍保持為零，每當(dāng)粒子離開Q板時(shí)，P板電勢立即變?yōu)榱悖�粒子在P、Q兩板間電場的一次次加速下動能不斷增大，而粒子的繞行半徑通過磁場的調(diào)節(jié)保持為R不變．粒子經(jīng)過P、Q極板的時(shí)間極短，可忽略不計(jì)．設(shè)t=0時(shí)刻，粒子靜止在P板小孔處，在電場作用下加速，并繞行第一圈．
（1）為使粒子始終在半徑為R的圓軌道上運(yùn)動，磁場必須周期性遞增．求粒子從t=0時(shí)刻起繞行第n圈時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B_n；
（2）求粒子從t=0時(shí)刻起繞行n圈回到P板所需的總時(shí)間t_n．

Answer 1

分析：（1）由電場力做導(dǎo)致粒子的動能增加，結(jié)合動能定理，可求出n圈后的速度，再根據(jù)牛頓第二定律與向心力公式，即可求解；
（2）根據(jù)第n圈所需時(shí)間，結(jié)合數(shù)學(xué)通項(xiàng)式，即可求解．

解答：解：（1）粒子繞行n圈獲得的動能等于電場力對粒子做的功，設(shè)粒子繞行n圈獲得的速度為v_n，
根據(jù)動能定理，
則有：nqU=

1

2

m

v

2 n

解得：vn=

2nqU m

粒子在環(huán)形區(qū)域磁場中，受洛倫茲力作用做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動，
根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式，
則有：qvnBn=m

v 2 n

R

解得：Bn=

mvn

qR

=

1

R

2nmU q

（2）粒子繞行第n圈所需時(shí)間Tn=

2πR

vn

=2πR

m 2qU

?

1

n

粒子繞行n圈所需總時(shí)間為tn=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．
答：（1）粒子從t=0時(shí)刻起繞行第n圈時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度得：Bn=

mvn

qR

=

1

R

2nmU q

；
（2）粒子從t=0時(shí)刻起繞行n圈回到P板所需的總時(shí)間為tn=2πR

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)．

點(diǎn)評：考查粒子在電場力作用下，電場力做功從而獲得動能，掌握動能定理、牛頓第二定律與向心力公式的應(yīng)用，掌握粒子做勻速圓周運(yùn)動的周期公式，及運(yùn)用數(shù)學(xué)的通項(xiàng)式．