Question

1．如圖所示，A₁、A₂為水平放置的兩塊面積很大、相互平行的金屬板，兩板間距離為d，A₁板的中點(diǎn)為O，在O點(diǎn)正下方兩板間中點(diǎn)的P處有一粒子源，可在豎直平面內(nèi)向各個(gè)方向不斷發(fā)射同種帶電粒子，這些帶電粒子的速度大小均為v₀，質(zhì)量為m，帶電量為q，重力忽略不計(jì)，不考慮粒子打到板上的反彈，不考慮粒子間相互作用的影響．
（1）若只在A_l、A₂板間加上恒定電壓U₀，且A₁板電勢(shì)低于A₂板，求打到A_l板上粒子的速度大�。ê雎詭щ娏Ｗ訉�(duì)金屬板上電荷分布的影響）；
（2）若只在A₁、A₂板間加上一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度滿(mǎn)足怎樣的條件才能有粒子打到極板上；
（3）若只在A_l、A₂板間加上一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，求粒子打在A₁板上的區(qū)域長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）求出初末位置的電壓差，然后應(yīng)用動(dòng)能定理即可求得末速度；
（2）根據(jù)洛倫茲力在向心力求得半徑的表達(dá)式，然后又幾何關(guān)系求得半徑的取值范圍，聯(lián)立即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度的取值范圍；
（3）由磁感應(yīng)強(qiáng)度求得圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，再分析出粒子可以打在A₁板上最遠(yuǎn)位置的物理狀態(tài)，然后又幾何關(guān)系即可求得粒子出射的區(qū)域長(zhǎng)度．

解答 解：（1）只在A_l、A₂板間加上恒定電壓U₀，則發(fā)射點(diǎn)與A₁之間的電壓為$\frac{1}{2}{U}_{0}$，又有A₁板電勢(shì)低于A₂板，則質(zhì)量為m，帶電量為q從發(fā)射點(diǎn)到A₁做正功，對(duì)該過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理可得：$q\frac{{U}_{0}}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}$；
所以，打到A_l板上粒子的速度大小為：$v=\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）只在A₁、A₂板間加上一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則粒子在洛倫茲力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，所以有：$B{v}_{0}q=\frac{m{{v}_{0}}^{2}}{R}$，
則有：$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}$；
要能有粒子打到極板上，則$2R≥\fracuajqfro{2}$，即$\frac{2m{v}_{0}}{Bq}≥\frac3aj6psl{2}$；
所以有：$B≤\frac{4m{v}_{0}}{qd}$；
（3）只在A_l、A₂板間加上一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$，則粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑$R=\frac{m{v}_{0}}{Bq}=d$；
當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與A₁相切時(shí)，到達(dá)粒子打在A₁板上的最右端；當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)軌跡與A₂相切時(shí)，到達(dá)粒子打在A₁板上的最左端；
如圖所示，
由幾何關(guān)系可知：$OQ=\sqrt{pkq50p7^{2}-（\frac{1}{2}d）^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}d$，$OM=\frac{\sqrt{3}}{2}d$，PM=d；
所以，粒子打在A₁板上的區(qū)域長(zhǎng)度為：$PQ=（1+\sqrt{3}）d$；
答：（1）只在A_l、A₂板間加上恒定電壓U₀，且A₁板電勢(shì)低于A₂板，打到A_l板上粒子的速度大小為$\sqrt{\frac{q{U}_{0}}{m}+{{v}_{0}}^{2}}$；
（2）只在A₁、A₂板間加上一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度不大于$\frac{4m{v}_{0}}{qd}$才能有粒子打到極板上；
（3）只在A_l、A₂板間加上一方向垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=$\frac{m{v}_{0}}{qd}$時(shí)，粒子打在A₁板上的區(qū)域長(zhǎng)度為$（1+\sqrt{3}）d$．

點(diǎn)評(píng) 求解粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，粒子與邊界的極限條件一般都是運(yùn)動(dòng)軌跡與邊界相切，然后利用幾何關(guān)系即可求解．