Question

1．一個小滑塊放在半徑為R的光滑半球頂部，如圖所示，由于輕微的擾動，它開始由靜止下滑，求下列情況下，它離開球面時，離半球底部的高度h．
（1）半球面以10m/s的速度勻速上升．
（2）半球面以大小為$\frac{g}{2}$的加速度勻加速上升．
（3）半球面以大小為$\frac{g}{4}$的加速度勻加速向右運動．

Answer 1

分析 （1）離開球面時，重力的分力充當(dāng)向心力，結(jié)合動能定理求解
（2）此時球面為非慣性參考系，有慣性力$F′=\frac{mg}{2}$，方向豎直向下，由向心力公式和動能定理求解
（3）此時球面為非慣性參考系，物體受向左的力，由向心力公式和動能定理求解

解答 解：（1）設(shè)離開球面時，由改點所引的半徑與豎直方向的夾角為α，則：
mgcos$α=m\frac{{v}^{2}}{R}$
mgR（1-cos$α）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=$\frac{2}{3}R$
（2）取球面為參考系，此時球面為非慣性參考系，有力$F′=\frac{mg}{2}$，方向豎直向下
則：F_和=1.5mg
${F}_{和}cosα=m\frac{{v}^{2}}{R}$
${F}_{和}R（1-cosα）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：h=$\frac{2}{3}R$
（3）取球面為參考系，此時球面為非慣性參考系，物體受向左的力$F′=\frac{1}{4}mg$
則：$mgcosα-F′sinα=m\frac{{v}^{2}}{R}$
$mg（R-Rcosα）+F′Rsinα=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由幾何關(guān)系：$sinα=\sqrt{\frac{{R}^{2}-{h}^{2}}{R}}$，$cosα=\frac{h}{R}$
解得：h=0.81R或0.44R（舍去）
答：（1）半球面以10m/s的速度勻速上升h=$\frac{2}{3}R$．
（2）半球面以大小為$\frac{g}{2}$的加速度勻加速上升h=$\frac{2}{3}R$．
（3）半球面以大小為$\frac{g}{4}$的加速度勻加速向右運動h=0.81R

點評 此題主要考察了圓周運動中向心力公式的應(yīng)用，但是后兩問涉及到非慣性系，這不是高中學(xué)生需要掌握的．