Question

半徑為R的水平圓臺(tái)，可繞通過(guò)圓心O的豎直光滑細(xì)軸CC′轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，圓臺(tái)上沿相互垂直的兩個(gè)半徑方向刻有凹槽，質(zhì)量為m_A的物體A放在一個(gè)槽內(nèi)，物體A與槽底間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，質(zhì)量為m_B的物體B放在另一個(gè)槽內(nèi)，此槽是光滑的．AB間用一長(zhǎng)為l（l<R）且不可伸長(zhǎng)的輕繩繞過(guò)細(xì)軸相連．已知圓臺(tái)做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，且A、B兩物體相對(duì)圓臺(tái)不動(dòng)（A、B兩物體可視為質(zhì)點(diǎn)，物體的最大靜摩擦力近似等于滑動(dòng)摩擦力）．
（1）當(dāng)圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω₀，OA的長(zhǎng)度為l₁時(shí)，試寫出A、B兩個(gè)物體受到的向心力大小的表達(dá)式．
（2）不論圓臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多大，要使物體A和槽之間恰好沒(méi)有摩擦力，則OA的長(zhǎng)為多大？
（3）設(shè)OA長(zhǎng)為x，試分析圓臺(tái)的角速度ω和物體A到圓心的距離x所應(yīng)滿足的條件．

Answer 1

⑴ F_A = m_Aω₀²l₁      …………………………………………………………………1分
F_B = m_Bω₀²(l – l₁)  …………………………………………………………………1分
⑵  F = m_Aω²l₁      …………………………………………………………………1分
F = m_Bω²(l – l₁)  ……………………………………………………………………1分
解得    …………………………………………………………1分
⑶ 當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且恰無(wú)摩擦?xí)r，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為
F = m_Aω²x， F = m_Bω²(l – x)，聯(lián)立解得  ……………………1分
當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且A恰沒(méi)有做遠(yuǎn)離軸心的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為
F+μm_Ag=m_Aω²x，F(xiàn)=m_Bω²(l-x)
，          …………………………1分
當(dāng)A、B兩物體相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止且A恰沒(méi)有做向軸心的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體A、B的動(dòng)力學(xué)方程分別為
F - μm_Ag = m_Aω²x，F(xiàn) = m_Bω²(l - x)
，         …………………………1分
綜上分析可知                                   

解析