Question

13．為了研究過山車的原理，物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個與水平方向夾角為37°、長為L=2.0m的粗糙的傾斜軌道AB，通過水平軌道BC與豎直圓軌道相連，出口為水平軌道DE，整個軌道除AB段以外都是光滑的．其中AB與BC軌道以微小圓弧相接，如圖所示．一個小物塊以初速度v₀=4.0m/s，從某一高處水平拋出，到A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下．已知物塊與傾斜軌道的動摩擦因數(shù)μ=0.5（g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）求：
（1）小物塊的拋出點和A點的高度差；
（2）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，求豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)該滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）從拋出點到A點做平拋運動，根據(jù)平拋運動的規(guī)律可解得落到A點時豎直方向的速度v_y與h的關(guān)系，根據(jù)豎直方向速度v_y與水平方向速度v_x的夾角之間的關(guān)系，可以解得h．
（2）現(xiàn)根據(jù)第一問中求得到達(dá)A的速度，從A到B運用動能定理列方程，從B到環(huán)的最高點運用機械能守恒列方程，再根據(jù)到達(dá)最高點的臨界條件m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$≥mg，聯(lián)立方程組求解．

解答 解：（1）設(shè)從拋出點到A點的高度差為h，根據(jù)平拋運動的規(guī)律有：
  v_y²=2gh
解得v_y=$\sqrt{2gh}$
且  $\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=tan37°
代入數(shù)據(jù)解得 h=0.45m  
（2）小物體到達(dá)A點時的速度：v_A=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=5m/s
從A到B，由動能定理：
 mgLsin37°-μmgcos37°×L=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
小物體從B到環(huán)最高點P機械能守恒：
  $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{P}^{2}$+2mgR
在最高點有：m$\frac{{v}_{P}^{2}}{R}$≥mg
由④⑤⑥⑦解得 R≤0.66m．
答：
（1）小物塊的拋出點和A點的高度差為0.45m；
（2）要使小物塊不離開軌道，并從水平軌道DE滑出，則豎直圓弧軌道的半徑應(yīng)小于等于0.66m．

點評 此題要求熟練掌握平拋運動、動能定理、機械能守恒定律、圓周運動等規(guī)律，包含知識點多，關(guān)鍵要掌握圓周運動的臨界條件．