(2013?紅橋區(qū)一模)如圖所示,光滑的平行金屬導軌CD與EF間距為L=l m,與水平夾角為θ=30°,導軌上端用導線CE連接(導軌和連接線電阻不計),導軌處在磁感應(yīng)強度為B=0.1T、方向垂直于導軌平面向上的勻強磁場中.一根電阻為R=1Ω的金屬棒MN兩端有導電小輪擱在兩導軌上,棒上有吸水裝置P.取沿導軌向下為x軸正方向,坐標原點在CE中點,開始時棒處在x=0位置(即與CE重合),棒的起始質(zhì)量不計.當棒自靜止起下滑時,便開始吸水,質(zhì)量逐漸增大,設(shè)棒質(zhì)量的增大與位移x的平方根成正比,即m=k
x
,k為一常數(shù),k=0.1kg/m.求:
(1)金屬棒下滑2m位移過程中,流過棒的電荷量是多少?
(2)猜測金屬棒下滑過程中做的是什么性質(zhì)的運動,并加以證明.
(3)金屬棒下滑2m位移時速度為多大?
分析:(1)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律求出電路中產(chǎn)生的平均感應(yīng)電流大小,即可求得流過棒的電荷量;
(2)通過分析受力情況,來分析金屬棒的運動情況:棒從靜止開始運動,首先可以確定棒開始階段做加速運動,然后通過受力分析,看看加速度可能如何變化,棒在下滑過程中沿導軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F.由于m隨位移x增大而增大,所以,mgsinθ是一個變力;而安培力與速度有關(guān),也隨位移增大而增大,如果兩個力的差值恒定,即合外力是恒力的話,棒有可能做勻加速運動. 假設(shè)棒做的是勻加速運動,根據(jù)牛頓第二定律求出加速度的表達式,根據(jù)加速度,分析假設(shè)是否正確.
(3)根據(jù)第2問分析得知,棒做勻加速運動,將x=2m代入加速度的表達式,求出加速度,由運動學公式求解速度.
解答:解:(1)金屬棒下滑1m過程中,流過棒的電量為 
   q=
△Φ
R
=
BLx
R
=
0.1×1×2
1
C=0.2C
(2)由于棒從靜止開始運動,因此首先可以確定棒開始階段做加速運動,然后通過受力分析,看看加速度可能如何變化.
如圖所示,棒在下滑過程中沿導軌方向有向下的重力分力mgsinθ和向上的安培力F.由于m隨位移x增大而增大,所以,mgsinθ是一個變力;而安培力與速度有關(guān),也隨位移增大而增大,如果兩個力的差值恒定,即合外力是恒力的話,棒有可能做勻加速運動. 假設(shè)棒做的是勻加速運動,且設(shè)下滑位移x時的加速度為ax,根據(jù)牛頓第二定律,有
   mgsinθ-F=max
 而安培力F=BIL=B
BLv
R
L
=
B2L2v
R

所以mgsinθ-
B2L2v
R
=max,
假設(shè)棒做勻加速直線運動,則瞬時速度v=
2axx
,由于m=k
x
,代入后得:k
x
gsinθ-
B2L2
2axx
R
=k
x
ax
則得kgsinθ-
B2L2
2ax
R
=kax,①
從上述方程可以看出的解ax是一個定值,與位移x無關(guān),這表明前面的假設(shè)成立,棒的運動確實是勻加速直線運動.若ax與位移x有關(guān),則說明ax是一個變量,即前面的假設(shè)不成立.
(3)為了求棒下滑2m時的速度,應(yīng)先求出棒的加速度.將題目給出的數(shù)據(jù)代①式得到
   0.1×10×
1
2
-
2
×0.01×1
1
a
=0.1a
化簡得 10a+
2
?
a
-50=0
令y=
a
,則得 y2+
2
y-50=0
解得,a=4.69m/s2
根據(jù)勻變速運動規(guī)律,v=
2axx
=
2×4.69×2
=4.33m/s
答:(1)金屬棒下滑2m位移過程中,流過棒的電荷量是0.2C.
(2)猜測金屬棒下滑過程中做的是做勻加速運動,證明如上.
(3)金屬棒下滑2m位移時速度為4.33m/s.
點評:本題中運用感應(yīng)電荷量公式q=
△Φ
R
求解電量.通過先猜測,再進行證明,確定導體棒的運動情況,體現(xiàn)了科學研究常用的思路.
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