Question

如圖所示，質(zhì)量為3m的豎直光滑圓環(huán)A的半徑為R，固定在質(zhì)量為2m的木板B上，木板B的左右兩側(cè)各有一豎直擋板固定在地面上，B不能左右運動．在環(huán)的最低點靜止放有一質(zhì)量為m的小球C．現(xiàn)給小球一水平向右的瞬時速度v₀，小球會在圓環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動，為保證小球能通過環(huán)的最高點，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起，初速度v₀必須滿足（　　）

• A、最小值為

  4gR

• B、最大值為3

  gR

• C、最小值為

  5gR

• D、最大值為

  10gR

Answer 1

分析：小球在環(huán)內(nèi)側(cè)做圓周運動，通過最高點速度最小時，軌道對球的最小彈力為零，根據(jù)牛頓第二定律求出小球在最高點的最小速度；為了不會使環(huán)在豎直方向上跳起，小球在最高點對軌道的彈力不能大于2mg，根據(jù)牛頓第二定律求出最高點的最大速度，再根據(jù)機械能守恒定律求出小球在最低點的速度范圍．

解答：解：在最高點，速度最小時有：mg=m

v12

R

解得：v₁=

gR

．
從最高點到最低點的過程中，機械能守恒，設(shè)最低點的速度為v₁′，根據(jù)機械能守恒定律，有：
2mgR+

1

2

mv₁²=

1

2

mv₁′²
解得：v₁′=

5gR

．
要使不會使環(huán)在豎直方向上跳起，環(huán)對球的壓力最大為：
F=2mg+3mg=5mg
從最高點到最低點的過程中，機械能守恒，設(shè)此時最低點的速度為v₂′，
在最高點，速度最大時有：mg+5mg=m

v22

R

解得：v₂=

6gR

．
根據(jù)機械能守恒定律有：2mgR+

1

2

mv₂²=

1

2

mv₂′²
解得：v₂′=

10gR

．
所以保證小球能通過環(huán)的最高點，且不會使環(huán)在豎直方向上跳起，在最低點的速度范圍為：

5gR

≤v≤

10gR

．故CD正確，AB錯誤．
故選：CD．

點評：本題綜合考查了牛頓第二定律和機械能守恒定律，關(guān)鍵理清在最高點的兩個臨界情況，求出在最高點的最大速度和最小速度．