Question

2．一圓筒的橫截面如圖所示，其圓心為O，筒內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B．圓筒左側(cè)有相距為d的平行金屬板M、N其中M板帶正電荷，N板帶等量負(fù)電荷．質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子自M板邊緣的P處由靜止釋放，經(jīng)N板的小孔S以速度v沿半徑SO方向射入磁場中．粒子與圈筒發(fā)生2次碰撞后仍從S孔射出．設(shè)粒子與圓筒碰撞過程中沒有動能損失，且電荷量保持不變，在不計重力的情況下，求：
（1）M、N間電場強度E的大�。�
（2）圓筒的半徑R；
（3）若調(diào)整M、N板間電場強度E的大�。�粒子仍從M板邊緣的P處由靜止釋放，使粒子自進入圓筒，至從S孔射入電場期間與圓筒碰撞5次，求粒子由P處射出至返回P處的時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在勻強電場中在加速運動，電場力做功等于粒子動能的增加，根據(jù)動能定理和公式U=Ed求解場強E的大��；
（2）粒子在磁場中由洛倫茲力提供向心力，列式可求出粒子運動的軌跡半徑，再根據(jù)題意，正確畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)幾何關(guān)系寫出粒子的半徑與磁場的半徑的關(guān)系，從而求出圓筒的半徑R．
（3）至從S孔射入電場期間與圓筒碰撞5次，根據(jù)幾何關(guān)系可知，5碰撞點和S將圓筒6等分，求出半徑，進而求出進而磁場時的速度，粒子在磁場中運動的時間為一個周期，根據(jù)運動學(xué)基本公式求出在電場中運動的時間即可求解．

解答 解：（1）設(shè)兩板間的電壓為U，由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv²-0…①
由勻強電場中電勢差與電場強度的關(guān)系得：U=Ed…②
聯(lián)立上式可得：E=$\frac{m{v}^{2}}{2qd}$…③
（2）粒子進入磁場后又從S點射出，根據(jù)幾何關(guān)系可知，兩碰撞點和S將圓筒三等分．
設(shè)粒子在磁場中運動的軌道半徑為r，由洛倫茲力提供向心力，得：
$Bqv=m\frac{{v}^{2}}{r}$
根據(jù)幾何關(guān)系r=$\sqrt{3}R$
聯(lián)立上式，解得：R=$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$
（3）至從S孔射入電場期間與圓筒碰撞5次，根據(jù)幾何關(guān)系可知，5碰撞點和S將圓筒6等分，則有圓周運動的半徑r′=R，
根據(jù)$Bqv′=m\frac{{v′}^{2}}{r′}$
解得：$v′=\frac{BqR}{m}$
粒子在磁場中運動的時間為一個周期t${\;}_{1}=T=\frac{2πm}{Bq}$，
粒子在電場中加速的時間${t}_{2}=\fracmxrfojd{\frac{v′}{2}}=\frac{2dm}{BqR}$，
所以粒子由P處射出至返回P處的時間t=${t}_{1}+2{t}_{2}=\frac{2πm}{Bq}+\frac{4dm}{BqR}$=$\frac{2πm}{Bq}+\frac{4\sqrt{3}d}{v}$．
答：（1）M、N間電場強度E的大小為$\frac{m{v}^{2}}{2qd}$；
（2）圓筒的半徑R為$\frac{\sqrt{3}mv}{3qB}$；
（3）粒子由P處射出至返回P處的時間t為$\frac{2πm}{Bq}+\frac{4\sqrt{3}d}{v}$．

點評 解決該題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的要求，正確畫出粒子運動的軌跡，并根據(jù)幾何關(guān)系寫出粒子的半徑與磁場的半徑的關(guān)系．該題對空間思維的能力要求比較高．