Question

13．如圖所示，生產(chǎn)車間有兩個(gè)相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為v₀．質(zhì)量均為m的工件離開甲前與甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳到乙上，工件與乙之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ．乙的寬度足夠大，重力加速度為g．
（1）若乙保持靜止，求某工件在乙上滑行的距離；
（2）若乙的速度也為v₀，求：
①剛滑上乙時(shí)，某工件受到摩擦力的大小和方向；
②某工件在乙上垂直于傳送帶乙的運(yùn)動(dòng)方向滑行的距離；
③某工件在乙上滑行的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量．
（3）若乙的速度為v，試判斷某工件在乙上滑行的過(guò)程中所受摩擦力是否發(fā)生變化，并通過(guò)分析和計(jì)算說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）工件滑動(dòng)傳送帶乙，沿傳送帶方向相對(duì)傳送帶向后滑，垂直傳送帶方向相對(duì)傳送帶向前滑，可知摩擦力與側(cè)向的夾角為45度，根據(jù)牛頓第二定律得出側(cè)向的加速度，結(jié)合速度位移公式求出側(cè)向上滑過(guò)的距離．
（2））①沿甲與乙的運(yùn)動(dòng)方向由運(yùn)動(dòng)的合成即可求得和速度，由滑動(dòng)摩擦力求的大小；②根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式③由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求的相對(duì)于傳送帶的位移由Q=μmgx即可求得；
（3）通過(guò)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律即可求得

解答 解：（1）若乙保持靜止，根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
μmg=ma
$0-v_0^2=-2a{x_0}$
解得工件在乙上滑行的距離${x_0}=\frac{v_0^2}{2μg}$
（2）①沿甲與乙的運(yùn)動(dòng)方向建立坐標(biāo)系如答圖1所示．剛滑上乙時(shí)，工件相對(duì)乙運(yùn)動(dòng)的速度為$\sqrt{2}{v_0}$，方向如圖所示，θ=45°
工件受到摩擦力的大小為f=μmg
方向如圖所示，θ=45°
②沿x軸方向，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
μmgsinθ=ma_x
$0-v_0^2=-2{a_x}{x_1}$
解得工件在乙上垂直于乙的運(yùn)動(dòng)方向滑行的距離${x_1}=\frac{v_0^2}{{\sqrt{2}μg}}$
③工件在乙上沿x軸方向的位移為x，沿y軸方向的位移為y
根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式
a_x=μgsinθ，a_y=μgcosθ
在x軸方向$0-v_0^2=-2{a_x}x$在y軸方向$v_0^2-0=2{a_y}y$
工件滑動(dòng)的時(shí)間$t=\frac{v_0}{a_y}$乙前進(jìn)的距離y₁=v₀t
工件相對(duì)乙的位移$L=\sqrt{{x^2}+{{（{y_1}-y）}^2}}$
解得   $L=\frac{v_0^2}{μg}$
摩擦生熱  Q=μmgL
解得  $Q=mv_0^2$
（3）當(dāng)乙的速度為v時(shí)，工件相對(duì)乙的速度與y軸方向的夾角為α$tanα=\frac{v_0}{v}$
工件受到的摩擦力與二者相對(duì)速度的方向相反，如答圖2所示．
工件在x軸、y軸方向的加速度的大小分別為a_x、a_y，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律a_x=μgsinα，a_y=μgcosα
經(jīng)過(guò)極短的時(shí)間△t，x軸、y軸方向的相對(duì)速度大小分別為v_x=v₀-a_x△t，v_y=v-a_y△t
解得    $tanα=\frac{{{a_x}△t}}{{{a_y}△t}}$，$\frac{v_x}{v_y}=tanα$
表明經(jīng)過(guò)極短的時(shí)間△t，工件相對(duì)乙的速度與y軸方向的夾角仍為α，所以摩擦力方向保持不變
故工件在乙上滑行的過(guò)程中所受摩擦力的大小始終為f=μmg，方向不變
答：（1）若乙保持靜止，某工件在乙上滑行的距離為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（2）若乙的速度也為v₀，
①剛滑上乙時(shí)，某工件受到摩擦力的大小μmg，方向45°；
②某工件在乙上垂直于傳送帶乙的運(yùn)動(dòng)方向滑行的距離為$\frac{{v}_{0}^{2}}{\sqrt{2}μg}$；
③某工件在乙上滑行的過(guò)程中產(chǎn)生的熱量${mv}_{0}^{2}$．
（3）若乙的速度為v，某工件在乙上滑行的過(guò)程中所受摩擦力沒(méi)發(fā)生變化

點(diǎn)評(píng) 本題考查工件在傳送帶上的相對(duì)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，關(guān)鍵將工件的運(yùn)動(dòng)分解為沿傳送帶方向和垂直傳送帶方向，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解，難度較大