Question

3．如圖甲所示的控制電子運(yùn)動裝置由偏轉(zhuǎn)電場、偏轉(zhuǎn)磁場組成．偏轉(zhuǎn)電場處在加有電壓U、相距為d的兩塊水平平行放置的導(dǎo)體板之間，勻強(qiáng)磁場水平寬度一定，豎直長度足夠大，其緊靠偏轉(zhuǎn)電場的右邊．大量電子以相同初速度連續(xù)不斷地沿兩板正中間虛線的方向向右射入導(dǎo)體板之間．當(dāng)兩板間沒有加電壓時，這些電子通過兩板之間的時間為2t₀；當(dāng)兩板間加上圖乙所示的電壓U時，所有電子均能通過電場、穿過磁場，最后打在豎直放置的熒光屏上．已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e，不計電子的重力及電子間的相互作用，電壓U的最大值為U₀，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向水平且垂直紙面向里．
（1）如果電子在t=t₀時刻進(jìn)入兩板間，求它離開偏轉(zhuǎn)電場時豎直分速度的大��；
（2）要使電子在t=0時刻進(jìn)入電場并能最終垂直打在熒光屏上，求勻強(qiáng)磁場的水平寬度．
（3）試分析勻強(qiáng)磁場的水平寬度在滿足第（2）問情況下其他時刻進(jìn)入的電子，能否最終垂直打在熒光屏上？若能，說明你的理由并求出電子能打到熒光屏的寬度；若不能，也說明你的理由．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出加速度，然后由速度公式求出豎直分速度．
（2）根據(jù)幾何關(guān)系求出粒子做圓周運(yùn)動的軌道半徑，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出磁場的水平寬度．
（3）電子在電場中做類平拋運(yùn)動，應(yīng)用類平拋運(yùn)動規(guī)律求出電子的最大與最小偏移量，然后求出電子能打到熒光屏的寬度．

解答 解：（1）電子在t=t₀時刻進(jìn)入兩板間，先做勻速運(yùn)動，
后做類平拋運(yùn)動，在2t₀～3t₀時間內(nèi)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，
加速度：a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{0}}{md}$，豎直分速度：v_y=at=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$；
（2）電子在t=0時刻進(jìn)入兩板間，設(shè)電子從電場中射出的偏向角為θ，
速度為v，則：sinθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{mdv}$，
電子通過勻強(qiáng)磁場并能垂直打在熒光屏上，其圓周運(yùn)動的半徑為R，
根據(jù)牛頓第二定律得：evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
由幾何關(guān)系得：sinθ=$\frac{l}{R}$，
解得，水平寬度：l=$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{Bd}$；
（3）這些電子通過兩板之間的時間為2t₀則在0～2t₀時刻進(jìn)入電場的電子都是勻速運(yùn)動和類平拋運(yùn)動交替進(jìn)行，
且勻速運(yùn)動時間和類平拋運(yùn)動都是t₀．則電子從電場中射出的偏向角都是θ．易得任意時刻進(jìn)入的電子，
最終都垂直打在熒光屏上．即電子在磁場中的運(yùn)動軌跡彼此平行，射出電場的寬度就是打在熒光屏的寬度．
電子在t=t₀時刻進(jìn)入兩板間，先做勻速運(yùn)動，后做類平拋運(yùn)動，在2t₀～3t₀時間內(nèi)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)最小．
由牛頓第二定律得：a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{0}}{md}$，y_min=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}$，
電子在t=0時刻進(jìn)入兩板間，先做類平拋運(yùn)動，后做勻速運(yùn)動，在0～2t₀時間內(nèi)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，偏轉(zhuǎn)最大．
a=$\frac{eE}{m}$=$\frac{e{U}_{0}}{md}$，y=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}$，
類平拋速度反向延長沿線過水平位移中點，則：$\frac{y}{{y}_{max}}$=$\frac{1}{3}$，y_max=$\frac{3e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{2md}$，
解得，熒光寬度：△y=y_max-y_min=$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{md}$；
答：（1）如果電子在t=t₀時刻進(jìn)入兩板間，它離開偏轉(zhuǎn)電場時豎直分速度的大小為$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}}{md}$；
（2）要使電子在t=0時刻進(jìn)入電場并能最終垂直打在熒光屏上，勻強(qiáng)磁場的水平寬度為：$\frac{{U}_{0}{t}_{0}}{Bd}$；
（3）勻強(qiáng)磁場的水平寬度在滿足第（2）問情況下其他時刻進(jìn)入的電子，最終能垂直打在熒光屏上，電子能打到熒光屏的寬度是：$\frac{e{U}_{0}{t}_{0}^{2}}{md}$．

點評 本題電子先電場中運(yùn)動，后在磁場中運(yùn)動的問題，電場中研究是運(yùn)動的合成與分解，運(yùn)用牛頓定律和運(yùn)動公式分析求解．電子在磁場中運(yùn)動的問題關(guān)鍵是畫軌跡，定圓心角．會用運(yùn)動的合成與分解處理類平拋運(yùn)動問題，根據(jù)物體運(yùn)動的受力情況，確定粒子運(yùn)動性質(zhì)，確定物體運(yùn)動的軌跡并能根據(jù)幾何關(guān)系求解．