Question

（2011?浙江模擬）如圖所示為放置在豎直平面內(nèi)游戲滑軌的模擬裝置，滑軌由四部分粗細(xì)均勻的金屬桿組成，其中傾斜直軌AB與水平直軌CD長均為L=3m，圓弧形軌道APD和BQC均光滑，BQC的半徑為r=1m，APD的半徑為R，AB、CD與兩圓弧形軌道相切，O₂A、O₁B與豎直方向的夾角均為θ=37⁰．現(xiàn)有一質(zhì)量為m=1kg的小環(huán)穿在滑軌上，以某一初速度從B點(diǎn)開始沿AB向上運(yùn)動(dòng)，并恰能通過滑軌最高點(diǎn)．設(shè)小環(huán)與兩段直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=

1

3

，經(jīng)過軌道連接
處均無能量損失．（g=

10m

s2

，sin37°=0.6，cos37°=0.8，sin18.5°=0.32，cos18.5°=0.95，tan18.5°=

1

3

，cot18.5°=3）求：
（1）小球的初速度v₀；
（2）小球第一次到達(dá)圓弧C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力；
（3）小球最后停在何處．

Answer 1

分析：從圖形中幾何關(guān)系找出APD的半徑為R．
運(yùn)用動(dòng)能定理研究小球圓弧的最高點(diǎn)到第一次到軌道上C點(diǎn)求出C點(diǎn)速度．
小球在C點(diǎn)進(jìn)行受力分析運(yùn)用牛頓第二定律求解．

解答：解：（1）R=Ltan18.5°+r=2m
（或R+R?cos37°=r+rcos37°+L?sin37°）
解得：R=2m
要使小球過大圓弧的最高點(diǎn)，到達(dá)圓弧的最高點(diǎn)的臨界速度為0．
運(yùn)用動(dòng)能定理研究從B點(diǎn)到圓弧的最高點(diǎn)：
0-

1

2

m

v

2 0

=-mgR(1-cosθ)-mgLsinθ-μmgLcosθ
代入數(shù)據(jù)解得v0=2

15

m/s
（2）運(yùn)用動(dòng)能定理研究小球圓弧的最高點(diǎn)到第一次到軌道上C點(diǎn)：
mg2R-μmgL=

1

2

m

v

2 c

小球在C點(diǎn)進(jìn)行受力分析運(yùn)用牛頓第二定律得：
FN-mg=m

v 2 c

r

代入數(shù)據(jù)解得F_N=7mg=70N
由牛頓第三定律得：對(duì)軌道的壓力F'_N=70N，
（3）由第一問分析可知，小球再次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)還有動(dòng)能，設(shè)小球沿AB向上運(yùn)動(dòng)的位移為s
則有：

1

2

m

v

2 0

=μmgcosθ(L+s)+μmgL+mgssinθ
代入數(shù)據(jù)解得s=

18

13

m=1.38m
小球繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，到B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為E_KB=E_K0-μmgcosθ（L+2s）-μmgL
代入解得E_KB=4.6J
因E_KB＜2μmgL，故小球無法繼續(xù)上升到B點(diǎn)，滑到BQC某處后開始下滑，之后受摩擦力作用，小球最終停在CD上的某點(diǎn)．
由動(dòng)能定理：E_kc=μmgx
解得：x=0.78m
小球最后停在C點(diǎn)左側(cè)距C點(diǎn)0.78m處．
答：（1）小球的初速度v₀為2

15

m/s；
（2）小球第一次到達(dá)圓弧C點(diǎn)時(shí)對(duì)軌道的壓力是70N；
（3）小球最后停在C點(diǎn)左側(cè)距C點(diǎn)0.78m處．

點(diǎn)評(píng)：一個(gè)題目可能需要選擇不同的過程多次運(yùn)用動(dòng)能定理研究．
圓周運(yùn)動(dòng)問題關(guān)鍵要通過受力分析找出向心力的來源列出等式解決問題．