Question

1．邊長(zhǎng)為3L的正方形區(qū)域分成相等的三部分，左右兩側(cè)為勻強(qiáng)磁場(chǎng)，中間區(qū)域?yàn)閯驈?qiáng)電場(chǎng)，如圖所示．左側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁=$\frac{\sqrt{6mqU}}{2qL}$，方向垂直紙面向外；右側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₂=$\frac{\sqrt{6mqU}}{qL}$，方向垂直于紙面向里；中間區(qū)域電場(chǎng)方向與正方形區(qū)域的上下邊界平行．一質(zhì)量為m、電荷量為+q的帶電粒子從平行金屬板的正極板開始由靜止被加速，加速電壓為U，加速后粒子從a點(diǎn)進(jìn)入左側(cè)磁場(chǎng)，又從距正方形上下邊界等間距的b點(diǎn)沿與電場(chǎng)平行的方向進(jìn)入電場(chǎng)，不計(jì)粒子重力，求：
（1）粒子經(jīng)過平行金屬板加速后的速度大��；
（2）粒子在左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑及運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（3）電場(chǎng)強(qiáng)度E的取值在什么范圍內(nèi)時(shí)粒子能從右側(cè)磁場(chǎng)的上邊緣cd間離開？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子經(jīng)過平行金屬板加速后的速度大��；
（2）根據(jù)半徑公式求出粒子在左側(cè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，結(jié)合圓心角，通過周期公式求出粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）作出粒子在上邊緣cd間離開磁場(chǎng)的軌跡圖，結(jié)合臨界狀態(tài)，根據(jù)幾何關(guān)系求出半徑，結(jié)合半徑公式和動(dòng)能定理求出電場(chǎng)強(qiáng)度的范圍．

解答 解：（1）粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)有：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)B₁后有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：${R}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}=\frac{2L}{\sqrt{3}}$．
設(shè)粒子在磁場(chǎng)B₁中轉(zhuǎn)過的角度為α，由$sinα=\frac{L}{{R}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：α=60°．
周期為：T=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$，
粒子在磁場(chǎng)B₁中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t=$\frac{1}{6}T=\frac{πL}{3}\sqrt{\frac{2m}{3qU}}$．
（3）粒子在磁場(chǎng)B₂中運(yùn)動(dòng)，在上邊緣cd間離開的速度分別為v_n與v_m，與之相對(duì)應(yīng)的半徑分別為R_n與R_m．由分析知${R}_{n}=\frac{3}{4}L$，R_m=L   
由牛頓第二定律有：$q{v}_{n}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{{R}_{n}}$，
粒子在電場(chǎng)中有：$q{E}_{n}L=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：${E}_{n}=\frac{11U}{16L}$．
同理有：${E}_{m}=\frac{2U}{L}$．
所以電場(chǎng)強(qiáng)度的范圍為：$\frac{11U}{16L}$≤E≤$\frac{2U}{L}$．
答：（1）粒子經(jīng)過平行金屬板加速后的速度大小為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子在左側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)的半徑為$\frac{2L}{\sqrt{3}}$，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{πL}{3}\sqrt{\frac{2m}{3qU}}$；
（3）電場(chǎng)強(qiáng)度E的取值范圍為$\frac{11U}{16L}$≤E≤$\frac{2U}{L}$時(shí)，粒子能從右側(cè)磁場(chǎng)的上邊緣cd間離開．

點(diǎn)評(píng) 本題是帶電粒子在組合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，解題關(guān)鍵是畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，運(yùn)用幾何知識(shí)，結(jié)合半徑公式和周期公式進(jìn)行求解．