Question

如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量相等而粗糙程度不同的物體m₁和m₂，分別固定在一細(xì)棒的兩端，放在一傾角為α的斜面上，設(shè)m₁和m₂與斜面的摩擦因數(shù)為μ₁和μ₂，并滿足tanα=

μ1μ2

，細(xì)棒的質(zhì)量不計(jì)，與斜面不接觸，試求兩物體同時(shí)有最大靜摩擦力時(shí)棒與斜面上最大傾斜線AB的夾角θ的余弦值（最大靜摩擦力依據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式計(jì)算）

Answer 1

分析：分別對(duì)兩個(gè)小球受力分析，做出重力沿斜面分力、桿的彈力、摩擦力三者的矢量關(guān)系圖，然后運(yùn)用余弦定理．

解答：解：系統(tǒng)處于平衡時(shí)，兩物體所受輕桿的作用等值反向，沿斜面方向物體受力平衡，矢量關(guān)系如圖：

在力矢量三角形中運(yùn)用余弦定理：
b²=（2c）²+a²-4accosφ
cosφ=

4c2+a2-b2

4ca

sinφ=

(4ac)2-(4c2+a2-b2)

4ac

a、b、c表示各力如圖中所對(duì)應(yīng)，
又由余弦定理：（

asinφ

sinθ

）²=a²+c²-2accosφ
sin²θ=

a2sin2φ

a2+c2-2accosφ

=1-

(a2-b2)2

8c2(a2+c2-2c2)

則cosθ=

a2-b2

8c2(a2+c2-2c2)

代入abc的值得：cosθ=

μ1+μ2

2 2μ1+μ2

答：最大傾斜線AB的夾角θ的余弦值為：cosθ=

μ1+μ2

2 2μ1+μ2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平衡條件及力合成的法則：矢量三角形定則，關(guān)鍵是能夠熟練運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解，計(jì)算量比較大．