Question

10．在赤道上方的某衛(wèi)星，繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同，其圓周運(yùn)動(dòng)的周期為地球自轉(zhuǎn)周期為2倍；若衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)看作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，僅考慮地球?qū)ζ湟�力作用，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，地球自轉(zhuǎn)的周期為T，引力常量為G．下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 該衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的線速度一定大于$\sqrt{gR}$
• B． 該衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的線速度是同步衛(wèi)星在軌道上運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)線速度的$\sqrt{2}$倍
• C． 利用所給物理量，該衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑表達(dá)式為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{{π}^{2}}}$
• D． 當(dāng)該衛(wèi)星距某同步衛(wèi)星最近時(shí)開始計(jì)時(shí)，經(jīng)$\frac{4T}{\sqrt{2}}$時(shí)間，兩顆衛(wèi)星再次有最近距離

Answer 1

分析 衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律求出線速度、向心加速度、重力加速度，然后答題．

解答 解：A、萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$…①，
又由地球的表面：$mg=\frac{GMm}{{R}^{2}}$…②
衛(wèi)星的軌道半徑要大于R，所以衛(wèi)星的線速度運(yùn)動(dòng)小于$\sqrt{gR}$，故A錯(cuò)誤；
B、萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$r，解得：T₁=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$…③
由于衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的周期為地球自轉(zhuǎn)周期為2倍，即周期是同步衛(wèi)星的2倍，所以其半徑與同步衛(wèi)星的半徑關(guān)系：
$\frac{{r}_{1}^{3}}{{r}_{2}^{3}}=\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}^{2}}$
所以：$\frac{{r}_{1}}{{r}_{2}}=\root{3}{\frac{{T}_{1}^{2}}{{T}^{2}}}=\root{3}{4}$
所以：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{同步}}=\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}=\root{3}{\frac{1}{4}}$．故B錯(cuò)誤；
C、由于衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的周期為地球自轉(zhuǎn)周期為2倍，即T₁=2T…④
聯(lián)立②③④得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{{π}^{2}}}$．故C正確；
D、當(dāng)該衛(wèi)星距某同步衛(wèi)星最近時(shí)開始計(jì)時(shí)，兩顆衛(wèi)星再次有最近距離時(shí)，同步衛(wèi)星比該衛(wèi)星多轉(zhuǎn)半周，所以：
$\frac{t}{T}-\frac{t}{{T}_{1}}=0.5$…⑤
聯(lián)立④⑤得：t=T．故D錯(cuò)誤．
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題考查了人造衛(wèi)星的應(yīng)用，知道萬(wàn)有引力提供向心力是解題的關(guān)鍵，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以解題．