Question

17．一種玩具模型如圖所示，軌道ABCD位于豎直平面內，AB是半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道，水平軌道BC段長度為L，斜軌道CD與水平面成α角，且足夠長，在C處用光滑的小圓弧與BC連接．今有一質點從AB上高度為h處由靜止開始滑下，它與BC、CD間的動摩擦因數均為μ，重力加速度為g，試解決下列問題：

（1）要求質點至少有兩次經過B點，則h的最小值為多少？
（2）若α，R，L，h固定不變，而改變μ的值，則最終質點可能停在BC上，也可能停在CD上，試分析μ取值滿足什么條件時，質點最終將停在CD上？

Answer 1

分析 （1）先分析滑塊在斜面上運動的過程中，摩擦力對滑塊做功的特點，然后又功能關系寫出相應的公式，即可求出h的最小值；
（2）若滑塊停在斜面上，首先要求滑塊受到的摩擦力要大于等于重力沿斜面向下的分力，其次要求滑塊恰好在斜面處．

解答 解：（1）滑塊在斜面上受到重力．支持力和斜面的摩擦力的作用，沿斜面的方向：f=μmgcosα
滑塊在斜面上的位移為L′時，對應的水平距離為x，則：x=L′cosα
滑塊在斜面上運動的距離為L時，克服摩擦力做的功：W_f=f•L′=μmgcosα•L′=μmg•L′cosα=μmg•x，
滑塊在圓弧軌道上不受摩擦力的作用，所以僅僅在水平面上和斜面上受到摩擦力的做功，摩擦力才對滑塊做功．
由于摩擦力做功的特點是僅僅與路程、摩擦力的大小有關，所以若質點恰好有兩次經過B點，則滑塊到達斜面的最高點上的h′處，滿足：
mgh=μmgL+μmgx+mgh′
又：μmgL+μmgx=mgh′，h′=xtanα
聯立解得：$h=\frac{2μLtanα}{tanα-μ}$
（2）若α，R，L，h固定不變，首先要求滑塊受到的摩擦力要大于等于重力沿斜面向下的分力，即：
μmgcoα≥mgsinα
得：μ≥tanα
同時，還要滿足滑塊必須滑過C點，即滑塊在水平面上的位移要大于等于L，即：
mgh≥μmgL
即：$μ≤\frac{h}{L}$
答：（1）要求質點至少有兩次經過B點，則h的最小值為$\frac{2μLtanα}{tanα-μ}$；
（2）若α，R，L，h固定不變，當μ滿足$tanα≤μ≤\frac{h}{L}$時，質點最終將停在CD．

點評 該題中，滑塊經歷的過程比較多，尤其是在斜面上的運動，要結合滑塊在斜面上的受力，正確寫出滑塊在斜面上的摩擦力做功的情況，才能正確答題．