Question

4．如圖所示，傾角30°的粗糙斜面上有四條間距相等的水平虛線MM′、NN′、PP′、QQ′，在MM′與NN′之間 PP′與QQ′之間存在著垂直斜面向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B均為1T．現(xiàn)有質(zhì)量m=0.1Kg、電阻R=4Ω的矩形線框abcd，從圖示位置靜止釋放（cd邊與MM′重合），速度隨時(shí)間的變化關(guān)系如圖乙所示，t₁時(shí)刻cd邊與NN′重合，t₂時(shí)刻ab邊與PP′重合，t3時(shí)刻ab邊與QQ′重合．已知矩形線框cd邊長(zhǎng)度L₀=0.5m，t₁～t₂時(shí)間間隔△t=1.2s，線圈與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，重力加速度取10g/s²．求：
（1）線圈勻速運(yùn)動(dòng)的速度V₂的大��；
（2）磁場(chǎng)的寬度L₀和線圈ab邊的長(zhǎng)度L₂；
（3）0～t₃時(shí)間內(nèi)，線圈產(chǎn)生的熱量Q．

Answer 1

分析 （1）線框進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則對(duì)線框受力分析，由共點(diǎn)力的平衡條件可得出線框的速度；
（2）由于t₁～t₂的時(shí)間線框勻加速運(yùn)動(dòng)，可知線圈ab邊的長(zhǎng)度是磁場(chǎng)寬度的2倍
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重力勢(shì)能減小，動(dòng)能增加，內(nèi)能增加； 但能量守恒； 由能量的轉(zhuǎn)化及守恒關(guān)系可得出內(nèi)能的增加量

解答 （1）在t₂時(shí)刻：ab棒切割磁感線產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為：
E=BL₁v₂       
流過(guò)線圈的電流為：I=$\frac{E}{R}$                                
根據(jù)線框勻速運(yùn)動(dòng)可得：mgsinθ-μmgcosθ-BIL₁=0
解得：v₂=4m/s                                      
（2）由于t₁～t₂的時(shí)間線框勻加速運(yùn)動(dòng)，可知線圈ab邊的長(zhǎng)度是磁場(chǎng)寬度的2倍，即為：
L₂=2L₀
該過(guò)程中，根據(jù)牛頓第二定有：
mgsinθ-μmgcosμ=ma
a=2.5m/s²                                       
根據(jù)線框的勻變速運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)：v₂-v₁=a△t                
v₁=1m/s                                              
$x=\frac{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}{2a}=3m$      
x=L₀+L₂=3m                      
L₀=1m
L₂=2L₀=2m            
（3）根據(jù)能量守恒可得：
  $Q=mgsinθ•5{L}_{0}-μmgcosθ•5{L}_{0}-\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=0.45J  
答：（1）線圈勻速運(yùn)動(dòng)的速度V₂的大小為4m/s．
（2）磁場(chǎng)的寬度L₀為1m線圈ab邊的長(zhǎng)度L₂；為2m
（3）0～t₃時(shí)間內(nèi)，線圈產(chǎn)生的熱量Q為 0.45J

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清線圈的運(yùn)動(dòng)情況，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解，本題的難點(diǎn)就是通過(guò)線圈勻加速直線運(yùn)動(dòng)利用牛頓第二定律求解問(wèn)題，并能合理利用能量守恒定律．