Question

16．如圖a所示，間距為L的光滑平行長導(dǎo)軌固定在水平面上，每根導(dǎo)軌單位長度電阻為R₀．導(dǎo)軌間存在豎直方向的有界勻強磁場．不計電阻的金屬桿①、②垂直導(dǎo)軌放置在磁場內(nèi)，桿①在離開磁場邊界左側(cè)2L處，桿②在桿①右側(cè)．磁感應(yīng)強度變化規(guī)律滿足B=B₀-kt （B₀、k為已知量）．

（1）若桿①和桿②都固定，求桿中的感應(yīng)電流強度．
（2）若桿①和桿②以相同速度υ向右勻速運動，在桿②出磁場前，求桿中的感應(yīng)電流強度．
（3）若桿①固定，t=0時，桿②從桿①右側(cè)L處出發(fā)向右運動的過程中，保持閉合回路中磁通量不變使桿中一直無感應(yīng)電流，則桿②多久后到達(dá)磁場邊界？
（4）若磁感應(yīng)強度保持B=B₀不變，桿①固定．桿②以一定初速度、在水平拉力作用下從桿①右側(cè)0.5m處出發(fā)向右運動，速度υ與兩桿間距x之間關(guān)系滿足圖b．當(dāng)外力做功4.5J時，兩桿間距x為多少？（第4問中可用數(shù)據(jù)如下：B₀=1T、R₀=0.1Ω/m、L=0.5m、金屬桿②質(zhì)量m=0.5kg）

Answer 1

分析 （1）由B=B₀-kt 求出$\frac{△B}{△t}$，由法拉第電磁感應(yīng)定律求出感應(yīng)電動勢，再由歐姆定律求感應(yīng)電流．
（2）桿①和桿②以相同速度υ向右勻速運動，回路的磁通量與靜止時相同，感應(yīng)電流與靜電時也相同．
（3）磁通量保持不變，桿①和桿②間距x的任意位置時的磁通量等于初始時磁通量，列式求出．
（4）由v-x圖象得到v=2x．求出感應(yīng)電流，再由動能定理求出x．

解答 解：（1）由B=B₀-kt 得$\frac{△B}{△t}$=k
設(shè)桿①和桿②間距為x時，感應(yīng)電動勢 E=$\frac{△B}{△t}$Lx=kLx
感應(yīng)電流為 I=$\frac{E}{2{R}_{0}x}$=$\frac{kL}{2{R}_{0}}$
（2）因為兩桿的運動不影響磁通量大小，所以感應(yīng)電流與靜止時相同，即與（1）問中相同，仍為I=$\frac{kL}{2{R}_{0}}$．
（3）磁通量保持不變，桿①和桿②間距x的任意位置有
  B₀L²=（B₀-kt）Lx
當(dāng)x=2L時 t=$\frac{{B}_{0}}{2k}$
（4）根據(jù)v-x圖象可知，v=2x
感應(yīng)電流 I=$\frac{E}{2{R}_{0}x}$=$\frac{{B}_{0}Lv}{2{R}_{0}x}$=$\frac{1×0.5×2}{2×0.1}$A=5A，為定值
則安培力F_A=ILB₀=2.5N
由動能定理，僅水平拉力和安培力做功，設(shè)桿①和桿②間距x，可得
 W+W_A=△E_k
即W-F_A（x-L）=$\frac{1}{2}m{v}_{t}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入得 4.5-2.5（1.87-0.5）=x²-0.25
得x=1.87m
由題意，安培力僅存在于金屬桿未出磁場區(qū)域，根據(jù)x=1.5m可知金屬桿已出磁場
答：
（1）桿中的感應(yīng)電流強度為$\frac{kL}{2{R}_{0}}$．
（2）桿中的感應(yīng)電流強度為$\frac{kL}{2{R}_{0}}$．
（3）桿②$\frac{{B}_{0}}{2k}$后到達(dá)磁場邊界．
（4）當(dāng)外力做功4.5J時，兩桿間距x為1.87m．

點評 本題關(guān)鍵推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系，正確分析功能關(guān)系，運用電磁感應(yīng)與力學(xué)基本規(guī)律分析和解答．