Question

用單位長度的質(zhì)量為0.5kg/m的直木板做成直軌道，軌道的左端A擱在一個(gè)水平臺(tái)上，并與一個(gè)固定光滑曲面的底端平滑相接，軌道在B點(diǎn)處與一豎直支架固定在一起，B點(diǎn)到A端的距離為0.8m，支架的高也為0.8m，軌道恰好水平．支架的下端與垂直于紙面的固定軸O連接，因此軌道可繞軸O沿順時(shí)針方向翻動(dòng)．現(xiàn)將一個(gè)可看做質(zhì)點(diǎn)的滑塊從曲面上P點(diǎn)由靜止釋放，已知滑塊質(zhì)量為0.4kg，P到軌道的豎直距離為0.2m，滑塊與軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.125，重力加速度g取10m/s²．
（1）求滑塊運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度大小；
（2）若軌道長為1.024m，請(qǐng)通過計(jì)算確定滑塊是否能水平飛離軌道；
（3）用同樣的直木板，做成不同長度的直軌道，保持B點(diǎn)到軌道左端A的距離為0.8m，仍將滑塊從P點(diǎn)由靜止釋放，為確保滑塊在軌道上滑行時(shí)支架不翻倒，求軌道長度的范圍．

Answer 1

分析：（1）滑塊從P到A的過程中只有重力做功，機(jī)械能守恒；
（2）首先根據(jù)動(dòng)能定理計(jì)算出滑塊的最大位移，判定滑塊能否離開軌道；然后根據(jù)力矩平衡，判定軌道是否能夠發(fā)生翻轉(zhuǎn)．若滑塊的最大位移大于軌道的長度，且軌道不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)，則滑塊才能夠水平飛離軌道；
（3）結(jié)合（2）的分析，找出軌道恰好翻轉(zhuǎn)的條件，計(jì)算出最大的長度即可．

解答：解：（1）滑塊從P到A，由mgh=

1

2

mv_A²-0，可解得v_A=2m/s
（2）假設(shè)軌道固定且足夠長，滑塊從P運(yùn)動(dòng)到軌道上，設(shè)在水平軌道上能滑行的最大距離為s，
由W_f=W_G，μmgs=mgh，可解得s=

h

μ

=

0.2

0.125

m=1.6m＞1.024m
所以滑塊能運(yùn)動(dòng)到軌道末端
滑塊在軌道末端時(shí)，軌道的重力矩為MgL_M=0.5×1.024×10×（0.8-

1.024

2

）N?m=1.47 N?m
滑塊的壓力和摩擦力的力矩為：
mgL_m+μmgL_f=0.4×10×（1.024-0.8）N?m+0.125×0.4×10×0.8 N?m=1.296 N?m
因?yàn)檐壍赖闹亓�矩大于滑塊的壓力和摩擦力的力矩，所以軌道不會(huì)翻轉(zhuǎn)．所以滑塊能水平飛離軌道．
（3）設(shè)軌道長度為xm，軌道質(zhì)量為M=0.5xkg
恰好翻倒時(shí)，Mg（0.8-

1

2

x）=mg（x-0.8）+μmg×0.8
可求出x=

2

5

7

m （或1.058m）
所以軌道長度的范圍為（0.8，

2

5

7

）m
答：（1）滑塊運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)的速度大小為2m/s；
（2）若軌道長為1.024m，通過計(jì)算確定滑塊能水平飛離軌道；
（3）用同樣的直木板，軌道長度的范圍為（0.8，

2

5

7

）m．

點(diǎn)評(píng)：該題的第二問中，讓我們判定滑塊是否能水平飛離軌道，不能只計(jì)算滑塊的最大位移，一定要根據(jù)力矩平衡進(jìn)行分析，才能得出正確的結(jié)論．是一道容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的題目．