Question

17．如圖所示，MNPQ是一個足夠長的處于豎直平面內(nèi)的固定的金屬框架，框架的寬度為L，電阻忽略不計．a(chǎn)b是一根質(zhì)量為m，有一定電阻的導體，能緊貼框架無摩擦下滑，整個框架平面處于垂直于框架平面的勻強磁場中，磁感強度為B．當單刀雙擲開關S置于1位置時，導體ab恰好靜止在框架的某一處．已知電源的電動勢為ε，內(nèi)阻為r．
（1）勻強磁場的方向如何？
（2）當開關S置于2位置時，導體ab由靜止開始下落，試寫出ab下落運動的分析過程，并用所給的物理量表達ab在下落過程中的最大速度．
（3）ab達到最大速度的$\frac{3}{4}$時，其加速度大小是多大？
（4）如果ab由靜止開始下落到達到最大速度所用的時間為t，下落高度為h．試推導則該過程中h和t應滿足的不等式關系？

Answer 1

分析 （1）當單刀雙擲開關S置于1位置時，導體ab恰好靜止，受力平衡，必定受到向上的安培力，由左手定則判斷磁場的方向；
（2）當開關S置于2位置時，導體ab由靜止開始下落，棒受到重力和安培力，開始階段安培力小于重力，棒做加速度減小的加速運動，當兩力平衡時，棒做勻速運動，達到穩(wěn)定狀態(tài)，根據(jù)安培力的表達式，由平衡條件求出最大速度；
（3）ab達到最大速度的$\frac{3}{4}$時，先求出安培力，再根據(jù)牛頓第二定律求加速度；
（4）作出ab運動過程的υ-t圖線：ab初始加速度為g，即圖線在原點的切線斜率為g．運動過程下落距離h即為圖線曲線部分所包的“面積”，它介于圖示“梯形面積”和“三角形面積”之間．即可得到h和t應滿足的不等式關系．

解答 解：（1）當單刀雙擲開關S置于1位置時，導體ab恰好靜止，受到的安培力向上，由左手定則判斷得知：磁場方向垂直紙面向內(nèi)．
（2）S接1時，由平衡條件得：mg=F
又 F=BIL=B$\frac{ε}{R+r}$L  ①
S接2時，剛開始ab下落的加速度為g，接著加速運動時受重力和安培力作用，由牛頓第二定律得：mg-F=ma
隨著速度υ的增大，感應電動勢也隨著增大，感應電流也增大，從而使安培力F增大，從而導致加速度a的減小，最終安培力達到和重力平衡而做勻速運動，因而有：
  mg=F=BIL=B$\frac{BL{v}_{m}}{R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{R}$ ②
由①得R代入②整理后得：最大速度為 υ_m=$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（3）由②可知，當ab達到最大速度的$\frac{3}{4}$時，安培力為 F=$\frac{3}{4}$mg，因此有：
   mg-F=ma
解得，a=$\frac{1}{4}$g．
又因為，ab切割磁感線產(chǎn)生感應電動勢，其電阻相當于電源內(nèi)阻，而據(jù)題意，框架電阻不計，因而外電阻為0，從而使ab兩端的電壓（端電壓）為0．
（4）作出ab運動過程的υ-t圖線：
ab初始加速度為g，即圖線在原點的切線斜率為g．運動過程下落距離h即為圖線曲線部分所包的“面積”，它介于圖示“梯形面積”和“三角形面積”之間．
故有：$\frac{1}{2}$υ_m（2t-$\frac{{v}_{m}}{g}$）＞h＞$\frac{1}{2}$υ_mt
將（2）中求的υ_m值代入得：$\frac{1}{2}$（$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）（2t-$\frac{?}{BLg}$+$\frac{mr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）＞h＞$\frac{1}{2}$（$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）t
答：（1）勻強磁場的方向垂直紙面向內(nèi)；
（2）S接2時，導體棒ab先做加速度減小的變加速運動，最終做勻速運動，最大速度為$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
（3）當ab達到最大速度的$\frac{3}{4}$時，其加速度大小是$\frac{1}{4}$g．
（4）該過程中h和t應滿足的不等式關系為$\frac{1}{2}$（$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）（2t-$\frac{?}{BLg}$+$\frac{mr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）＞h＞$\frac{1}{2}$（$\frac{ε}{BL}$-$\frac{mgr}{{B}^{2}{L}^{2}}$）t．

點評 本題是電磁感應與力學知識的綜合，分析和計算安培力是關鍵，同時要抓住v-t圖象的物理意義分析h與t的關系式．