Question

如圖所示為某一裝置的俯視圖，PQ、MN為豎直放置的很長的平行金屬薄板，兩板間有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，它的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直紙面向里．金屬棒AB擱置在兩板上緣，并與兩板垂直良好接觸．現(xiàn)有質(zhì)量為m、電荷量為q，重力不計(jì)的粒子，以初速V₀水平向左射入兩板間．求：
（1）金屬棒AB應(yīng)向什么方向、以多大的速度運(yùn)動(dòng)，可以使粒子作勻速運(yùn)動(dòng)？
（2）若金屬棒運(yùn)動(dòng)突然停止，帶電粒子在磁場(chǎng)中繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，從該時(shí)刻開始經(jīng)多長時(shí)間位移大小為

3

mv₀/qB．（磁場(chǎng)足夠大）

Answer 1

分析：（1）這又出現(xiàn)了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)的平衡，這類題復(fù)合場(chǎng)中比較常見．掌握公式F_電=F_洛，帶入有關(guān)表達(dá)式即可得到答案．因?yàn)轭}目中沒有告訴是正電荷還是負(fù)電荷，正負(fù)電荷所對(duì)應(yīng)的到導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)情況是不一樣的，所以這步要分類討論．
（2）明確金屬棒停止后帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況：金屬棒停止后兩板間的電場(chǎng)消失，只存在磁場(chǎng)，帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由洛倫茲力充當(dāng)向心力可以求的軌道半徑，依據(jù)半徑可以求出位移大小為

3

mv₀/qB所對(duì)應(yīng)的圓心角，進(jìn)而可以求得時(shí)間．
這里需要注意的是：若得到位移大小為

3

mv₀/qB對(duì)應(yīng)的第一個(gè)位置的圓心角為θ，上述結(jié)果只是粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的一種情況，則第二個(gè)位移大小為

3

mv₀/qB位置對(duì)應(yīng)的圓 心角為 2π-θ，如圖：．但是位移大小為

3

mv₀/qB對(duì)應(yīng)的點(diǎn)也可能是運(yùn)動(dòng)一周又θ的角度或一周又2π-θ，因此粒子運(yùn)動(dòng)的圓周數(shù)是：n+

θ

2π

周（n=1，2，3…）即粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=(n+

θ

2π

)T或粒子運(yùn)動(dòng)的圓周數(shù)是：t=(n+

2π-θ

2π

)T，這個(gè)才是最終的時(shí)間表達(dá)式．

解答：解：
（1）若是正電荷：據(jù)左手定則受洛侖茲力方向向下，則電場(chǎng)力方向向上，兩者才能平衡，據(jù)右手定則AB向左運(yùn)動(dòng)．
Eq=qv₀B   
E=

BLv

L

解得：v=v₀
若是負(fù)電荷：據(jù)左手定則受洛侖茲力方向向上，則電場(chǎng)力方向向下，兩者才能平衡，據(jù)右手定則AB向左運(yùn)動(dòng)
Eq=qv₀B   
E=

BLv

L

解得：v=v₀
由以上結(jié)論得：無論是正負(fù)電荷，導(dǎo)體棒都應(yīng)以v₀的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．
（2）由題意知，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
qv0B=

mv02

r

解得帶電粒子的運(yùn)動(dòng)半徑：
r=

mv0

qB

所以當(dāng)位移大小第一次位移為

3 mv0

qB

時(shí)，由幾何關(guān)系知：帶電粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為

2π

3

其運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=

T

3

又帶電粒子運(yùn)動(dòng)周期：T=

2πm

qB

所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
t₁=nT+

T

3

=

( 1 3 +n)2πm

qB

(n=1、2、3…)
同理，當(dāng)位移第二次位移為

3 mv0

qB

時(shí)，由幾何關(guān)系知：帶電粒子轉(zhuǎn)過的圓心角為2π-θ
所以運(yùn)動(dòng)時(shí)間為
t₂=(n+

2π-θ

2π

)T
=

( 2 3 +n)2πm

qB

(n=1、2、3…)
答：（1）無論是正負(fù)電荷，導(dǎo)體棒都應(yīng)以v₀的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．
（2）運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=

( 1 3 +n)2πm

qB

(n=1、2、3…)
或：t₂=

( 2 3 +n)2πm

qB

(n=1、2、3…)

點(diǎn)評(píng)：這是一道麻煩的題，并且稍有不慎就會(huì)出錯(cuò)：
第一問還好說比較簡(jiǎn)單，記住在沒告訴電性的情況下最好要分別討論不同電性的情況．
主要麻煩的第二問上：這里涉及兩個(gè)重要的應(yīng)用
一是對(duì)稱性：圓周運(yùn)動(dòng)中會(huì)有兩個(gè)位置出現(xiàn)相同的位移，且兩個(gè)位置是對(duì)稱的．于此相關(guān)的由豎直上拋，沿光滑斜面的上滑等諸如此類．
二是周期性：每個(gè)位置有對(duì)應(yīng)周期的倍數(shù)----即周期性．涉及周期性常見的有：圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，正弦和余弦交流電的周期性等．
且這類問題多是設(shè)置在難度較大的題目當(dāng)中，需要多方位多角度考慮，以便能囊括所有的情況．