Question

在電視節(jié)目中我們常常能看到一種精彩的水上運(yùn)動--滑水板，如圖所示．運(yùn)動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行，設(shè)滑板是光滑的．若運(yùn)動員與滑板的總質(zhì)量為m=70kg，滑板的總面積為S=0.12m²，水的密度為ρ=1.0×10³ kg/m³．理論研究表明：當(dāng)滑板與水平方向的夾角（板前端抬起的角度）為θ時(shí)，水對板的作用力大小為N=ρSv²sin²θ，方向垂直于板面．式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積，求為了使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度．

Answer 1

分析：根據(jù)力的平衡求出速度和滑板與水平方向的夾角的關(guān)系，根據(jù)數(shù)學(xué)知識導(dǎo)數(shù)求該表達(dá)式的最小值，從而得出最小速度．

解答：解：滑板和運(yùn)動員受重力mg、水對滑板的彈力N，繩子的拉力F，不計(jì)水的阻力，根據(jù)物體的平衡有：
Ncosθ-mg=0
又根據(jù)題設(shè)條件，N=ρSv²sin²θ，可得牽引的速度v=

mg ρSsin2θcosθ

在mg、ρ、S一定的條件下，v是θ的函數(shù)，當(dāng)θ取一定值時(shí)，v有最小值．設(shè)y=sin²θcosθ，則當(dāng)y有最大值時(shí)，v有最小值．求y的導(dǎo)數(shù)并令其為零．

dy

dθ

=2sinθcos2θ-sin3θ=0 解得，tanθ=

2

．
根據(jù)數(shù)學(xué)三角函數(shù)得，cosθ=

3

3

，sin2θ=

2

3

則ymax=

2 3

9

代入速度表達(dá)式中，最小速度v=

3 3 mg 2ρS

=3.9m/s．
故快艇水平牽引滑板的最小速度為3.9m/s．

點(diǎn)評：本題本來是一道相當(dāng)難的問題，數(shù)學(xué)計(jì)算較復(fù)雜，但使用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算后，使的一難題變?yōu)橐坏莱Ｒ?guī)題．