Question

15．如圖，一長為2L的平行板電容器，兩板間所加的電壓為U，電容器的下方存在一腰長為L的等腰三角形區(qū)，內(nèi)部存在垂直紙面向外的勻強磁場，今有一質(zhì)量為m電量為q的正粒子，由上板的中央位置O′處靜止出發(fā)，經(jīng)加速度電壓加速后，從下板正中央的小孔O垂直于極板進入勻強磁場區(qū)域，假設粒子能與極板發(fā)生無能量損失的碰撞，且碰撞前后粒子的電量不變，忽略粒子的重力、粒子與極板的碰撞時間以及空氣的阻力，求：
（1）粒子進入磁場瞬間的速度；
（2）如果粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后能以最大的回旋半徑到達下極板，則磁場的磁感應強度；
（3）如果改變磁感應強度的大小，則粒子在磁場中運動時間也隨之變化，求粒子運動的最長時間應為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子進入磁場的速度；
（2）結(jié)合幾何關系求出粒子在磁場中運動的半徑，結(jié)合半徑公式求出磁感應強度的大小．
（3）粒子速率恒定，從進入磁場到第一次打到ED板的圓周軌跡到EC邊相切時，路程最長，運動時間最長，結(jié)合幾何關系求出粒子做圓周運動的半徑，根據(jù)圓周運動的弧長求出最長時間．

解答 解：（1）粒子在電場中加速，由動能定理得：
qU=$\frac{1}{2}$mv²，解得：v=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）要使粒子半徑最大，粒子運動軌跡應與AC相切，粒子運動軌跡如圖所示：

由幾何知識可得：R+$\frac{R}{sinθ}$=L，
粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提向心力，由牛頓第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，解得：B=$\frac{（1+\sqrt{2}）\sqrt{2mqU}}{qL}$；
（3）粒子運動的軌道半徑為r，r越小最后一次打在AB板的點越靠近A端點，
在磁場中圓周運動的累積路程越長，運動時間越長，r為無窮小時，
經(jīng)過n個半圓周，最后一次打在A點，運動軌跡如圖所示：

則：n=$\frac{L}{2r}$，圓周運動周期：T=$\frac{2πr}{v}$，
最長的極限時間：t_m=n$\frac{T}{2}$=$\frac{πL}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
答：（1）粒子進入磁場瞬間的速度為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）如果粒子經(jīng)磁場偏轉(zhuǎn)后能以最大的回旋半徑到達下極板，則磁場的磁感應強度為$\frac{（1+\sqrt{2}）\sqrt{2mqU}}{qL}$；
（3）如果改變磁感應強度的大小，則粒子在磁場中運動時間也隨之變化，粒子運動的最長時間應為$\frac{πL}{2}$$\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．

點評 處理帶電粒子在磁場中運動問題，關鍵作出粒子的運動軌跡，會確定圓周運動的圓心、半徑、圓心角，結(jié)合半徑公式、周期公式進行求解．