Question

19．如圖所示，在圓柱形倉庫中心天花板上的O點(diǎn)，掛一根L=3m的細(xì)繩，繩的下端掛一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg的小球，已知繩能承受的最大拉力為10N．小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球速度逐漸增大時(shí)，細(xì)繩與豎直方向的夾角也隨之變大．當(dāng)速度逐漸增大某一數(shù)值，細(xì)繩正好斷裂，設(shè)斷裂時(shí)小球在圖中的位置A，隨后小球以v=9m/s的速度正好落在墻角的C點(diǎn)．設(shè)g=10m/s²，求：
（1）繩剛要斷裂時(shí)與豎直方向夾角α及此時(shí)球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r；
（2）這個(gè)倉庫屋頂?shù)母叨菻和半徑R．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)繩子的最大拉力，結(jié)合平行四邊形定則求出繩子與豎直方向的夾角α，根據(jù)合力提供向心力求出球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r．
（2）根據(jù)向心力公式求出繩斷時(shí)的速度，進(jìn)而求出水平位移，再根據(jù)幾何關(guān)系可求H和R．

解答 解：（1）取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，設(shè)繩剛要斷裂時(shí)細(xì)繩的拉力大小為F，則在豎直方向有：
Fcosα=mg     
所以cosα=$\frac{mg}{F}$=$\frac{5}{10}$=0.5，故α=60°
球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：r=Lsin60°=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$m=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m  
（2）OO′間的距離為：OO′=Lcos60°=3×$\frac{1}{2}$m=1.5m
則O′O″間的距離為：O′O″=H-OO′=H-1.5m
由牛頓第二定律知：Fsinα=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{r}$ 
代入數(shù)據(jù)解得：v_A=3$\sqrt{5}$m/s    
細(xì)繩斷裂后小球做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)A點(diǎn)在地面上的投影為B，如圖所示．由運(yùn)動(dòng)的合成可知：v_C²=v_A²+（gt）²
由此可得小球平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=0.6s   
由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可知小球在豎直方向上的位移為：
s_y=$\frac{1}{2}$gt²=H-1.5m
所以屋的高度為：H=$\frac{1}{2}$gt²+1.5m=3.3m
小球在水平方向上的位移為：s_x=BC=v_At=1.8$\sqrt{5}$m  
由圖可知圓柱形屋的半徑為：R=$\sqrt{{r}^{2}+（BC）^{2}}$=4.8m．
答：（1）繩剛要斷裂時(shí)與豎直方向夾角α是60°，此時(shí)球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$m；
（2）這個(gè)倉庫屋頂?shù)母叨菻是3.3m，半徑R是4.8m．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式及向心力公式的應(yīng)用，要求同學(xué)們能畫出小球運(yùn)動(dòng)的軌跡，能結(jié)合幾何關(guān)系解題．