Question

18．已知某船在靜水中的速度為v₁=4m/s，現(xiàn)讓船度過某條河，假設(shè)這條河的兩岸是理想的水平線，河寬d=100m，河水中的流動(dòng)速度為v₂=3m/s，方向與河岸平行．試求：
（1）欲使船以最短時(shí)間過河，船頭方向如何？渡河時(shí)間和位移各是多少？
（2）欲使船航行的距離最短，船頭方向如何？渡河時(shí)間和位移各是多少？
（3）若船在靜水中的速度為V₃=2m/s，則船渡過河的最短時(shí)間是多少？最短位移是多少？船頭方向是？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)船頭與河岸方向垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，渡河位移是垂直河岸方向上的位移與沿河岸方向上的位移的合位移，由勻速運(yùn)動(dòng)的公式即可求解．
（2）因船在靜水中的速度大于河水的速度，所以，當(dāng)合速度垂直于和河岸時(shí)渡河位移最小，結(jié)合三角形的知識和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，即可求得船頭方向、渡河時(shí)間和渡河位移．
（3）因船在靜水中的速度小于河水的速度，所以船不能垂直渡河，當(dāng)船頭的方向垂直于合速度時(shí)，渡河位移最短，結(jié)合三角形知識和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可得知船渡過河的最短時(shí)間，最短位移以及船頭方向．

解答 解：（1）要使船以最短時(shí)間過河，船頭方向垂直于河岸，這樣在垂直于河岸方向上的速度最大，此情況渡河時(shí)間最短．
渡河時(shí)間為：t=$\fracyk9fdra{{v}_{1}}$=$\frac{100}{4}$=25s
渡河位移為：x=$\sqrt{{v}_{1}^{2}{+v}_{2}^{2}}$t=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$×25=125m
（2）當(dāng)船在靜水中速度沿河岸方向的分量與河水的速度大小相等方向相反時(shí)，渡河位移最小，如圖1所示，設(shè)船速與岸的夾角為θ，則有：
v₁cosθ=v₂
及：cosθ=0.75
得：θ=arccos0.75
渡河時(shí)間為：t′=$\fractptz9ca{{v}_{1}sinθ}$=$\frac{100}{4×\frac{\sqrt{7}}{4}}$=37.7s
渡河位移的大小為河的寬度，為：x′=d=100m
（3）當(dāng)船在靜水中的速度為V₃=2m/s時(shí)，當(dāng)船頭垂直于河岸時(shí)，時(shí)間最短，為：
t″=$\frac45ojcj4{{v}_{3}}$=$\frac{100}{2}$=50s
當(dāng)船頭與船在河中運(yùn)動(dòng)的合速度方向相垂直時(shí)，如圖2所示，位移最短，為：
位移為：x″=$\fraclgesg44{cosα}$=$\fraczixnznl{\frac{{v}_{3}}{{v}_{2}}}$=$\frac{100}{\frac{2}{3}}$=150m
V₃與河岸的夾角為：α=arccos$\frac{{v}_{3}}{{v}_{2}}$=arccos$\frac{2}{3}$
答：（1）欲使船以最短時(shí)間過河，船頭方向要垂直于河岸，渡河時(shí)間是25s，位移為125m．
（2）欲使船航行的距離最短，船頭方向與河岸成arccos0.75度的角，渡河時(shí)間為37.7s，位移為100m．
（3）若船在靜水中的速度為V₃=2m/s，則船渡過河的最短時(shí)間50s，最短位移是150m，船頭方向與河岸的夾角成arccos$\frac{2}{3}$度角

點(diǎn)評 關(guān)于渡河問題，是考試的一個(gè)熱點(diǎn)，要注意分析渡河的幾種情況，一是以最短時(shí)間渡河的情況，也就是沿垂直于河岸的方向上的速度最大時(shí)，渡河時(shí)間最短，此時(shí)的渡河距離不一定是最短的；二是垂直渡河的情況，要在沿河岸方向上合速度為零，此時(shí)要有條件船在靜水中速度要大于河流的速度；三是當(dāng)船在靜水中的速度小于河水的流速時(shí)，船頭的方向垂直于合速度，此種情況下對河位移有最小值；再者是當(dāng)河水的流速發(fā)生變化時(shí)，對渡河的影響的分析．