Question

（2008?永州二模）如圖a所示的輪軸，它可以繞垂直紙面的光滑固定水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)．輪上繞有輕質(zhì)柔軟細(xì)線，線的一端系一重物，另一端系一質(zhì)量為m金屬桿．在豎直平面內(nèi)有間距為L(zhǎng)的足夠長(zhǎng)平行金屬導(dǎo)軌PQ、EF，在QF之間連接有阻值為R的電阻，其它電阻不計(jì)．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)與導(dǎo)軌平面垂直．開(kāi)始時(shí)金屬桿置于導(dǎo)軌下端，將重物由靜止釋放，重物最終能勻速下降．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中金屬桿始終與導(dǎo)軌垂直接觸良好，忽略所有摩擦．求：
（1）若重物的質(zhì)量為M時(shí)，重物勻速下降的速度v多大？
（2）對(duì)于一定的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，重物質(zhì)量M取不同的值，測(cè)出相應(yīng)重物作勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)v的速度值，可得到v-M實(shí)驗(yàn)圖線，圖b中畫(huà)出了磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為B₁和B₂時(shí)的兩條實(shí)驗(yàn)圖線．試根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果計(jì)算B₁和B₂的比值．

Answer 1

分析：（1）重物勻速下降時(shí)，金屬桿勻速上升，合力為零．分析金屬桿的受力情況，由F=BIL、I=

E

R

、E=BLv結(jié)合推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，即可由平衡條件求出重物勻速下降的速度v；
（2）根據(jù)第1題v的表達(dá)式，分析v-M圖象的斜率，結(jié)合圖象求出斜率，即可得到B₁和B₂的比值．

解答：解：（1）金屬棒達(dá)到勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，由平衡條件得：
  對(duì)于金屬桿，有 F=F₁+mg…①
  對(duì)于重物，有 F=Mg…②
桿所受的安培力：F₁=BIL…③
回路中的感應(yīng)電流為 I=

E

R

…④
桿產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv…⑤
由③④⑤得：F₁=

B2L2v

R

…⑥
由①②⑥可求速度：v=

(M-m)gR

B2L2

…⑦
（2）由⑦式得出v-M的函數(shù)關(guān)系式：v=

gR

B2L2

M-

mgR

B2L2

從圖象上獲取數(shù)據(jù)，得到直線B₁的斜率：k1=

16-0

12-2

=1.6
同理：k2=

9-0

12-2

=0.9
故有：k1=

gR

B 2 1 L2

=1.6，k2=

gR

B 2 2 L2

=0.9
所以得：

B1

B2

=

k2 k1

=

3

4

答：（1）重物勻速下降的速度v為

(M-m)gR

B2L2

．
（2）B₁和B₂的比值是3：4．

點(diǎn)評(píng)：本題中運(yùn)用F=BIL、I=

E

R

、E=BLv推導(dǎo)安培力的表達(dá)式是求解的關(guān)鍵步驟，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析圖象的信息，得到B₁和B₂的比值，中等難度．