Question

19．質(zhì)量為1.0×10³kg的汽車，沿傾角為30°的斜坡由靜止開始向上運動，汽車在運動過程中所受摩擦阻力大小恒為2000N，汽車發(fā)動機的額定輸出功率為5.6×10⁴W，開始時以a=1m/s²的加速度做勻加速運動（g=10m/s²）．求：
（1）汽車做勻加速運動的時間t₁；
（2）汽車所能達到的最大速率；
（3）若斜坡長143.5m，且認為汽車以a=1m/s²的加速度做勻加速運動達到額定功率后保持其功率不變，在到達坡頂之前，已達到最大速率，則汽車從坡底到坡頂需多少時間？

Answer 1

分析 （1）汽車開始做勻加速運動，速度增大，發(fā)動機的輸出功率增大，當輸出功率達到額定功率時開始做變加速運動．先根據(jù)牛頓第二定律求出牽引力的大小，從而根據(jù)P=Fv求出勻加速直線運動的最大速度，根據(jù)速度時間公式求出勻加速運動的時間．
（2）當汽車的合力等于零時開始做勻速運動，速度最大．求出此時的牽引力F，再根據(jù)P=Fv_m求出汽車運行的最大速率．
（3）根據(jù)動能定理研究后一階段變加速過程求出時間．

解答 解：（1）設汽車的牽引力為F，汽車在斜坡上受重力、支持力、摩擦力、牽引力，根據(jù)牛頓第二定律有：F-mgsin30°-f=ma；
設勻加速的末速度為v，根據(jù)P=Fv，知道汽車的速度增加，發(fā)動機的功率也在增大，當汽車功率增加到額定輸出功率時，速度繼續(xù)增加，牽引力就要減小，此時勻加速運動結束．則有：P_額=Fv；
根據(jù)勻加速運動公式有：v=at₁
代入數(shù)值，聯(lián)立解得勻加速的時間為：v=7m/s，t₁=7s．
（2）當達到最大速度v_m時，有：P=（mgsin30°+F_f）v_m
解得汽車的最大速度為：v_m=8m/s
（3）汽車勻加速運動的位移為：x₁=$\frac{1}{2}$at₁²=24.5m
在后一階段牽引力對汽車做正功，重力和阻力做負功，根據(jù)動能定理有：
Pt₂-（mgsin30°+F_f）x₂=$\frac{1}{2}$mv_m²-$\frac{1}{2}$mv²
又有 x₂=x-x₁=143.5-24.5=119m
代入數(shù)值，聯(lián)立求解得：t₂≈15s
所以汽車總的運動時間為：t=t₁+t₂=22s
答：（1）汽車做勻加速運動的時間t₁為7s．
（2）汽車所能達到的最大速率為8m/s；
（3）汽車從坡底到坡頂需22s時間．

點評 本題的關鍵要知道汽車的運動性質(zhì)，明確各個物理量的變化；對于變加速運動時間的求解，運動學公式已經(jīng)不適用了，我們可以考慮動能定理．