Question

（25分）圖示為一固定不動的絕緣的圓筒形容器的橫截面，其半徑為 R，圓筒的軸線在 O 處。圓筒內(nèi)有勻強(qiáng)磁場，磁場方向與圓筒的軸線平行，磁感應(yīng)強(qiáng)度為 B 。筒壁的 H 處開有小孔，整個裝置處在真空中�，F(xiàn)有一質(zhì)量為 m、電荷量為 q 的帶電粒子 P 以某一初速度沿筒的半徑方向從小孔射入圓筒，經(jīng)與筒壁碰撞后又從小孔射出圓筒。設(shè)：筒壁是光滑的，P 與筒壁碰撞是彈性的，P 與筒壁碰撞時其電荷量是不變的。若要使 P 與筒壁碰撞的次數(shù)最少，問：

1. P 的速率應(yīng)為多少？

2. P從進(jìn)入圓筒到射出圓筒經(jīng)歷的時間為多少？

Answer 1

參考答案：

1. 如圖1所示，設(shè)筒內(nèi)磁場的方向垂直紙面指向紙外，帶電粒子 P 帶正電，其速率為 v 。P 從小孔射入圓筒中，因受到磁場的作用力而偏離入射方向，若與筒壁只發(fā)生一次碰撞，是不可能從小孔射出圓筒的。但與筒壁碰撞兩次，它就有可能從小孔射出。造此情形中，P 在筒內(nèi)的路徑由三段等長、等半徑的圓弧 HM、MN、和 NH 組成�，F(xiàn)考察其中一段圓弧 MN，如圖2所示。由于 P 沿筒的半徑方向入射，OM 和 ON 均與軌道相切，兩者的夾角

（1）

設(shè)圓弧的圓半徑為 r ，則有

　（2）

圓弧對軌道圓心 所張的圓心角

（3）

由幾何關(guān)系得

　（4）

解（2）、（3）、（4）式得

　（5）

2. P 由小孔射入到第一次與筒壁碰撞所通過的路徑為

　（6）

經(jīng)歷時間為

　（7）

P 從射入小孔到射出小孔經(jīng)歷的時間為

（8）

由以上有關(guān)各式得

（9）