Question

如圖所示，一根跨越一固定的水平光滑細桿、輕繩兩端拴有兩個質量均為m的小球a和b（可視為質點），Oa段的長度為L₁，Ob段的長度為L₂，且L₁＞L₂，球a置于地面，球b被拉到與細桿水平的位置，在繩剛拉直時放手，小球b從靜止狀態(tài)向下擺動，當球b擺到最低點時，恰好與球a在同一水平位置發(fā)生碰撞并粘合在一起，設碰撞時間極短，往后兩球以O點為圓心做圓周運動，若已知碰前瞬間球a的速度大小為v_a，方向豎直向上，輕繩不可伸長且始終處于繃緊狀態(tài)，求：
（1）球b在碰撞前瞬間的速度大小；
（2）兩小球粘合后做圓周運動時繩中張力的大�。�
（3）兩球在碰撞過程中，合外力對球a施加的沖量．

Answer 1

分析：（1）對a、b系統(tǒng)從開始到a、b碰撞前運用機械能守恒定律列出等式求解
（2）當球b運動到最低點時，其豎直方向的速度與v_a大小相等，方向相反，球b與球a在水平方向碰撞，根據動量守恒列出等式，由牛頓第二定律求出繩中張力的大小
（3）（3）在碰撞過程中，根據動量定理求解

解答：解：（1）對a、b系統(tǒng)從開始到a、b碰撞前運用機械能守恒定律列出等式有：
mgL₁=2mg×

1

2

（L₁-L₂）+

1

2

mv_b²+

1

2

mv_a²…①
解得：v_b=

2gL2- v 2 a

…②
（2）當球b運動到最低點時，其豎直方向的速度與v_a大小相等，方向相反（因為繩長不變），球b在水平方向的速度為：v_bx=

v 2 b - v 2 a

…③
球b與球a在水平方向碰撞，有：mv_bx=2mv…④
繩中張力T由牛頓第二定律有：T-mg=

mv2

L1+L2 2

…⑤
由②③④⑤得：T=mg+

m(gL2 -v 2 a )

L1+L2

（3）在碰撞過程中，根據動量定理
對球a有：I=m

v 2   + v 2 a

=m

gL2+ v 2 a 2

沖量與水平方向的夾角為：θ=arctan

2 v 2 a gL2- v 2 a

答：（1）球b在碰撞前瞬間的速度大小是

2gL2- v 2 a

；
（2）兩小球粘合后做圓周運動時繩中張力的大小是mg+

m(gL2 -v 2 a )

L1+L2

；
（3）兩球在碰撞過程中，合外力對球a施加的沖量大小是m

gL2+ v 2 a 2

，方向水平方向的夾角θ=arctan

2 v 2 a gL2- v 2 a

點評：本題考查了機械能守恒，動量守恒，牛頓第二定律，動量定理等多個知識點的應用，關鍵要清楚物體的運動過程，選擇對應的物理規(guī)律求解．