Question

5．如圖所示，在豎直平面某點(diǎn)A通過長度為l的不可伸長的輕繩懸掛一擺球，擺球可視作質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，輕繩和擺球組成的系統(tǒng)可繞A點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)．初始時(shí)，擺球在重力和繩子拉力作用下靜止，現(xiàn)給該擺球以水平向右的初速度v₀，試定性描述擺球開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到出發(fā)點(diǎn)這一過程的運(yùn)動(dòng)軌跡并說明理由．（過程中繩子與球的互相作用僅考慮拉力）

Answer 1

分析 小球初速度不同，運(yùn)動(dòng)軌跡不同，判斷出小球的速度的臨界值時(shí)判斷小球運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵，分為完整圓周運(yùn)動(dòng)，單擺運(yùn)動(dòng)，和單擺加拋體運(yùn)動(dòng)即可

解答 解：不同的初速度會(huì)導(dǎo)致擺球不同的運(yùn)動(dòng)軌跡
（1）擺球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)
設(shè)擺球在最高點(diǎn)速度為v，有$\frac{m{v}^{2}}{l}≥mg$
$-2mgl=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得${v}_{0}≥\sqrt{5gl}$
（2）擺球做來回?cái)[動(dòng)
這種情況要求擺球運(yùn)動(dòng)過程中不超過A點(diǎn)的高度，有
$mgl≥\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
（3）當(dāng)$\sqrt{2gl}＜{v}_{0}＜\sqrt{5gl}$，擺球超過A點(diǎn)又不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)超過A殿后，擺球處于繃直狀態(tài)時(shí)與水平方向的夾角為θ，則必有某一θ符合$\frac{{mv}_{0}^{2}}{l}=mgcosθ$
此時(shí)繩中的張力為0，此后擺球推力繩子的束縛做跑題運(yùn)動(dòng)直至繩子再次繃直，之后擺球?qū)⒃俅巫鰣A周運(yùn)動(dòng)回到出發(fā)點(diǎn)
綜上：
若${v}_{0}≤\sqrt{2給L}$，擺球的運(yùn)動(dòng)軌跡為兩段往復(fù)的圓弧，圓弧對(duì)應(yīng)角度小于90°
若$\sqrt{2gl}＜{v}_{0}＜\sqrt{5gl}$，擺球運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧接一段拋物線再接一段圓�。�
若${v}_{0}≥\sqrt{5gl}$，擺球運(yùn)動(dòng)軌跡為完整圓

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了小球具有不同初速度下小球的運(yùn)動(dòng)軌跡，關(guān)鍵是抓住臨界值的判斷