Question

17．如圖所示間距為1的無限長平行光滑導軌MN固定于水平面上．在導軌的PE和QN區(qū)域各有一豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度均為B，現(xiàn)有兩根相同的導體棒a，b分別垂直導軌靜置在兩磁場左邊界的P，Q處．導體棒的長度為l，質(zhì)量為M，電阻為R，質(zhì)量均為m的C，D兩物塊通過一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧相連，C通過輕質(zhì)細繩與a相連，開始時細繩剛好拉直，但無張力，導體棒b在外力作用下向右運動，a在磁場PE區(qū)域做勻加速直線運動，進過時間t到達磁場右邊界E處，此時D剛好要離開地面，E為PQ的中點，導軌電阻不計，不計一切摩擦，整個過程彈簧處于彈性限度內(nèi)，已知重力加速度為g．

（1）求兩導體棒a、b開始時的間距；
（2）求當a到達磁場邊界E處時，b的速度大�。�

Answer 1

分析 （1）兩導體棒a、b開始時的間距等于2倍的PE，據(jù)題由胡克定律求出彈簧開始時壓縮量和a棒到達E處時彈簧的伸長量，由幾何關(guān)系求解．
（2）a在磁場PE區(qū)域做勻加速直線運動，由位移時間公式求出加速度．對a棒和C物運用牛頓第二定律列式，結(jié)合回路中感應(yīng)電動勢公式E=Bl（v_b-v_a）求解b的速度．

解答 解：（1）由胡克定律得開始時彈簧的壓縮量為：x₁=$\frac{mg}{k}$…①
a棒到達E處時彈簧的伸長量為：x₂=$\frac{mg}{k}$…②
由幾何關(guān)系得：PE=x=x₁+x₂=$\frac{2mg}{k}$…③
據(jù)題得，兩導體棒a、b開始時的間距為：S=2x=$\frac{4mg}{k}$…④
（2）設(shè)a棒勻加速運動的加速度為a，有：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$…⑤
當a到達磁場邊界E處時，根據(jù)牛頓第二定律，
對a棒有 BIl-T=Ma…⑥
對C物有 T-mg-kx₂=ma…⑦
據(jù)題 kx₂=mg…⑧
對ab回路有 I=$\frac{Bl（{v}_-{v}_{a}）}{2R}$…⑨
又 v_a=at…（10）
聯(lián)立④～（10）式解得：v_b=$\frac{8mg}{kt}$+$\frac{2R[2mgk{t}^{2}+8mg（M+m）]}{{B}^{2}{l}^{2}k{t}^{2}}$
答：（1）兩導體棒a、b開始時的間距是$\frac{4mg}{k}$；
（2）當a到達磁場邊界E處時，b的速度大小是$\frac{8mg}{kt}$+$\frac{2R[2mgk{t}^{2}+8mg（M+m）]}{{B}^{2}{l}^{2}k{t}^{2}}$．

點評 本題是復雜的電磁感應(yīng)中的力學問題，對于a棒和C物組成的系統(tǒng)，運用隔離法研究加速度．對于a、b回路，要知道回路產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為 E=Bl（v_b-v_a）．