Question

4．如圖甲所示，金屬極板A、B水平放置，極板長(zhǎng)度為L(zhǎng)，板間距為0.5L，兩極板間的電勢(shì)差為U_AB隨時(shí)間周期性變化的關(guān)系如圖乙所示，變化周期為T，邊界MN的右側(cè)有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．一靜止在兩極板正中央的中性粒子，由于粒子內(nèi)部的作用，在t=0時(shí)刻粒子突然分裂成兩個(gè)帶電微粒1、2，微粒1的質(zhì)量為m₁=2m，微粒2的質(zhì)量為m₂=m，其中微粒1帶正電電荷量為q，速度方向水平向左，在t=T時(shí)刻從極板B的邊緣離開，不計(jì)重力和分裂后兩微粒間的相互作用，已知邊界MN右側(cè)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B=$\frac{3πm}{2qT}$，試求：
（1）粒子分裂后瞬間兩微粒的速度；
（2）交變電壓U 的大��；
（3）微粒2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑和時(shí)間；
（4）畫出兩微粒大致的運(yùn)動(dòng)軌跡，并簡(jiǎn)要說明．

Answer 1

分析 （1）由微粒1的運(yùn)動(dòng)時(shí)間求得速度，再應(yīng)用動(dòng)量守恒得到微粒2的速度；
（2）根據(jù)微粒1豎直方向上的分位移，及微粒2運(yùn)動(dòng)過程中只受電場(chǎng)力作用求得電壓；
（3）根據(jù)類平拋運(yùn)動(dòng)求得微粒2進(jìn)入磁場(chǎng)的速度和方向，再由牛頓第二定律得到半徑及周期，從而求得運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（4）根據(jù)粒子運(yùn)動(dòng)過程中所受合外力求得微粒的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得到運(yùn)動(dòng)軌跡．

解答 解：（1）粒子分裂前不帶電荷，故由電荷守恒可知，分裂后，粒子1帶電量+q，那么粒子2帶電量為-q；設(shè)分裂后微粒1速度方向水平向左，大小為v₁，那么由分裂過程動(dòng)量守恒可得粒子2的速度水平向右，大小為v₂=2v₁；
粒子在極板間運(yùn)動(dòng)只受豎直方向上的電場(chǎng)力作用，那么水平方向分運(yùn)動(dòng)為勻速直線運(yùn)動(dòng)，則粒子1在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=T=\frac{\frac{L}{2}}{{v}_{1}}=\frac{L}{2{v}_{1}}$；所以，${v}_{1}=\frac{L}{2T}$，${v}_{2}=2{v}_{1}=\frac{L}{T}$；
（2）粒子1在$0＜t＜\frac{T}{2}$時(shí)，加速度$a=\frac{{qU}_{0}}{0.5mL}$，在$\frac{T}{2}＜t＜T$時(shí)，加速度$a'=-\frac{{qU}_{0}}{0.5mL}$，所以粒子1離開電場(chǎng)時(shí)的豎直分速度為0，豎直方向平均分速度$\overline{{v}_{y}}=\frac{a•\frac{T}{2}}{2}=\frac{q{U}_{0}T}{2mL}$，
所以$\frac{L}{4}=\overline{{v}_{y}}•T=\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{2mL}$，所以，${U}_{0}=\frac{m{L}^{2}}{2q{T}^{2}}$；
（3）粒子2分裂后的速度v₂=2v₁，故粒子2經(jīng)過$\frac{T}{2}$就離開從右端電場(chǎng)；又有兩粒子電荷大小相同，符號(hào)相反，故電場(chǎng)力大小相等，方向相反，又有粒子2的質(zhì)量是粒子1的$\frac{1}{2}$，所以，粒子2的加速度a₂=-2a，那么粒子2經(jīng)過$\frac{T}{2}$后的豎直位移正好為$\frac{L}{4}$，粒子2從A板右邊界離開電場(chǎng)；
粒子2進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度v的水平分量${v}_{x}={v}_{2}=\frac{L}{T}$（水平向右），豎直分量${v}_{y}={a}_{2}•\frac{T}{2}=-\frac{L}{T}$（豎直向上）；
故$v=\frac{\sqrt{2}L}{T}$，與NM直線成45°；
粒子2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，只受洛倫茲力，洛倫茲力做向心力，所以有$Bvq=\frac{m{v}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{mv}{Bq}=\frac{2\sqrt{2}L}{3π}$；
粒子2進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，半徑與NM成45°，那么由幾何對(duì)稱性可知，離開磁場(chǎng)時(shí)半徑與NM也成45°，所以，粒子2在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過的中心角為270°，
那么粒子2在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{270°}{360°}T′=\frac{3}{4}×\frac{2πR}{v}=T$；
（4）粒子1向左運(yùn)動(dòng)，水平方向?yàn)閯蛩僦本�運(yùn)動(dòng)，豎直方向先加速后減速，加速度大小相等，且時(shí)間相等，故前一半軌跡為拋物線，后一半軌跡也為拋物線，但與與前半段反對(duì)稱，之后向左勻速運(yùn)動(dòng)；
粒子2向右的運(yùn)動(dòng)軌跡為拋物線，正好經(jīng)過極板A右邊界，然后在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)過270°，進(jìn)入電場(chǎng)的位置與極板A的距離為$\sqrt{2}R=\frac{4L}{3π}$，此時(shí)B極板電勢(shì)高，因$\frac{L}{4}＜\frac{4L}{3π}＜\frac{L}{2}$，粒子2最終打在極板A的左半側(cè)；
所以，兩粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，．
答：1）粒子分裂后瞬間微粒1的速度為$\frac{L}{2T}$，微粒2的速度為$\frac{L}{T}$；
（2）交變電壓U 的大小為$\frac{m{L}^{2}}{2q{T}^{2}}$；
（3）微粒2在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為$\frac{2\sqrt{2}L}{3π}$，時(shí)間為T．

點(diǎn)評(píng) 在帶電粒子的運(yùn)動(dòng)問題中，一般先對(duì)粒子進(jìn)行受力分析，然后利用牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)方程聯(lián)系起來，再通過幾何關(guān)系求解．