Question

5．如圖所示，小球能在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做完整圓周運(yùn)動(dòng)，內(nèi)側(cè)壁半徑為R（小球的直徑略小于管道橫截面的直徑），小球可視為質(zhì)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（　�。�

• A． 小球在最高點(diǎn)的最小速度為$\sqrt{gR}$
• B． 小球在最低點(diǎn)的最小速度為$\sqrt{5gR}$
• C． 小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，外側(cè)管壁對(duì)小球一定有作用力
• D． 小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無(wú)作用力

Answer 1

分析 圓形管道內(nèi)能支撐小球，小球能夠通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0．小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，只有重力做功，其機(jī)械能守恒．根據(jù)機(jī)械能守恒求出最低點(diǎn)的最小速度．由牛頓第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答 解：A、由于圓形管道能支撐小球，所以小球能夠通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0．故A錯(cuò)誤．
B、小球通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0，根據(jù)機(jī)械能守恒得：mg2R=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
可得最低點(diǎn)的最小速度為：v=$2\sqrt{gR}$，故B錯(cuò)誤．
C、小球在水平線ab以上的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)小球的速度為v，管道對(duì)小球的彈力大小為F，方向指向圓心，半徑與豎直方向的夾角為α．小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)的速度為v′．由牛頓第二定律得：
mgcosα+F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
根據(jù)機(jī)械能守恒得：mgR（1-cosα）=$\frac{1}{2}{mv}^{2}-\frac{1}{2}mv{′}^{2}$
聯(lián)立得：F=2mg（1-2cosα）-m$\frac{v{′}^{2}}{R}$可知F可能為正，也可能為負(fù)，所以外側(cè)管壁對(duì)小球可能有作用力．故C錯(cuò)誤．
D、在a點(diǎn)，小球所需要的向心力是由軌道外側(cè)管壁的彈力提供的，所以可知小球在水平線ab以下的管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，內(nèi)側(cè)管壁對(duì)小球一定無(wú)作用力．故D正確．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題中圓管模型與輕桿模型相似，抓住兩個(gè)臨界條件：一是小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，速度為零；二是小球經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)與管道恰好無(wú)作用力時(shí)速度為$\sqrt{gR}$．