Question

9．如圖所示，正方形區(qū)域abcd邊長L=8cm，內(nèi)有平行于ab方向指向bc邊的勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)E=3750V/m，一帶正電的粒子電量q=10^-10C，質(zhì)量m=10^-20kg，沿電場中心線RO飛入電場，初速度v₀=2×10⁶m/s，粒子飛出電場后經(jīng)過界面cd、PS間的無電場區(qū)域后，進(jìn)入固定在O點(diǎn)的點(diǎn)電荷Q形成的電場區(qū)域，一進(jìn)入該區(qū)域即開始做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（設(shè)點(diǎn)電荷左側(cè)的電場分布以界面PS為界限，且不受PS影響）．已知cd、PS相距12cm，粒子穿過PS最后垂直打在放置于中心線上的熒光屏MN上．（靜電力常數(shù)k=9×10⁹Nm²/C²，不計(jì)粒子所受重力）試求：

（1）粒子穿過界面PS時(shí)的速度大小與方向；
（2）點(diǎn)電荷Q的電性及電量大小．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子垂直進(jìn)入勻強(qiáng)電場后，只受電場力，做類平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．由牛頓第二定律求出加速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出粒子飛出電場時(shí)的側(cè)移y₁；由幾何知識(shí)求解粒子穿過界面PS時(shí)偏離中心線RO的距離y．由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和速度的合成求出粒子離開電場時(shí)的速度大小和方向，由于離開電場后粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，即可得到粒子穿過界面PS時(shí)的速度大小與方向；
（2）帶電粒子進(jìn)入界面PS后做圓周運(yùn)動(dòng)，最后垂直打在放置于中心線上的熒光屏bc上，由幾何知識(shí)求得軌跡的半徑，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式求解點(diǎn)電荷Q的電量大小和電性

解答 解：（1）粒子在正方形區(qū)域abcd中做類平拋運(yùn)動(dòng)．在RO方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，${v_x}={v_0}=2×{10^6}m/s$；
在ab方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)．
運(yùn)動(dòng)時(shí)間 ${t_1}=\frac{L}{v_0}=4×{10^{-8}}s$
$a=\frac{qE}{m}=3.75×{10^{13}}m/{s^2}$
粒子射出dc邊界時(shí)
v_y=at₁=1.5×10⁶ m/s
v_x=v₀=2×10⁶ m/s
粒子的運(yùn)動(dòng)速度為v=$\sqrt{{v_0}^2+{v_y}^2}$=2.5×10⁶ m/s
粒子的速度偏向角的正切為tan?=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=0.75，?解得θ=37?
粒子飛出電場后在界面cd、PS間的無電場區(qū)域做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以粒子穿過界面PS時(shí)的速度大小為v=2.5×10⁶ m/s，方向與水平方向成37?角斜向右下
（2）粒子由界面ab運(yùn)動(dòng)到界面PS的過程中豎直方向上的位移$y=\frac{v_y}{2}{t_1}+{v_y}\frac{L'}{v_0}=0.12m$
由題意，粒子穿過界面PS時(shí)速度方向和庫侖力方向垂直，庫侖力提供向心力．
所以點(diǎn)電荷Q帶負(fù)電
粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=$\frac{y}{cosθ}$=0.15 m
由    $\frac{kQq}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$    得
Q=$\frac{mR{v}^{2}}{kq}=\frac{1{0}^{-20}×0.15×（2.5×1{0}^{6}）^{2}}{9×1{0}^{9}×1{0}^{-10}}$ C=1.04×10^-8C 
答：（1）粒子穿過界面PS時(shí)的速度大小為2.5×10⁶ m/s，方向成37°；
（2）點(diǎn)電荷Q帶負(fù)電，電量大小為1.04×10^-8C．

點(diǎn)評(píng) 本題是類平拋運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)的綜合，分析粒子的受力情況和運(yùn)動(dòng)情況是基礎(chǔ)．難點(diǎn)是運(yùn)用幾何知識(shí)解出對(duì)應(yīng)的邊長