Question

12．如圖所示，固定在水平面內(nèi)的兩根相互平行的光滑金屬導(dǎo)軌MM′和NN′相距L，導(dǎo)軌足夠長，導(dǎo)軌左端M、N間接一阻值為R的電阻，一根金屬棒ab垂直放置在兩導(dǎo)軌上，金屬棒和導(dǎo)軌的電阻均不計．整個裝置置于豎直向下的勻強磁場中，金屬棒ab在水平力的作用下以速度v₀向右做勻速直線運動．t=0時，磁感應(yīng)強度為B₀，此時金屬棒ab與MN間的距離為x₀．（1）如果從t=0開始，為使金屬棒ab內(nèi)不產(chǎn)生感應(yīng)電流，請通過分析和計算，推導(dǎo)磁感應(yīng)強度B隨時間變化的關(guān)系式；（2）如果從t=0開始，磁感應(yīng)強度的大小隨時間的變化規(guī)律為B=B₀-kt，其中k為正的恒量，請通過分析和計算，推導(dǎo)在0＜t＜$\frac{{B}_{0}}{k}$的時間內(nèi)，金屬棒ab所受安培力F的大小隨時間t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）只要通過閉合回路的磁通量不變，則MN棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，抓住磁通量不變，求出B隨時間t變化的關(guān)系．
（2）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律求出感應(yīng)電動式和感應(yīng)電流的大小和方向，根據(jù)F=BIL求出安培力，根據(jù)左手定則確定安培力方向

解答 解：（1）當(dāng)通過閉合回路的磁通量不變，則ab棒中不產(chǎn)生感應(yīng)電流，有${B}_{0}^{\;}{Lx}_{0}^{\;}=BL（{x}_{0}^{\;}+{v}_{0}^{\;}t）$
解得$B=\frac{{B}_{0}^{\;}{x}_{0}^{\;}}{{x}_{0}^{\;}+{v}_{0}^{\;}t}$
（2）設(shè)經(jīng)過時間t，回路面積$S=L（{x}_{0}^{\;}+vt）$
根據(jù)楞次定律，因磁場變化而產(chǎn)生的感生電動勢方向順時針，大小${E}_{1}^{\;}=\frac{△B}{△t}S=kL（{x}_{0}^{\;}+{v}_{0}^{\;}t）$
根據(jù)右手定則，因切割磁感線而產(chǎn)生的動生電動勢方向逆時針，大小${E}_{2}^{\;}=BL{v}_{0}^{\;}=（{B}_{0}^{\;}-kt）L{v}_{0}^{\;}$
回路總電流$I=\frac{（{B}_{0}^{\;}-kt）L{v}_{0}^{\;}-kL（{x}_{0}^{\;}+{v}_{0}^{\;}t）}{R}$
金屬棒ab所受安培力F=BIL=$\frac{（{B}_{0}^{\;}-kt）_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}-k{L}_{\;}^{2}（{B}_{0}^{\;}-kt）}{R}$（取絕對值）
答：（1）磁感應(yīng)強度B隨時間變化的關(guān)系式$\frac{{B}_{0}^{\;}{x}_{0}^{\;}}{{x}_{0}^{\;}+{v}_{0}^{\;}t}$
（2）金屬棒ab所受安培力F的大小隨時間t變化的關(guān)系式$\frac{（{B}_{0}^{\;}-kt）_{\;}^{2}{L}_{\;}^{2}{v}_{0}^{\;}-k{L}_{\;}^{2}（{B}_{0}^{\;}-kt）}{R}$（取絕對值）

點評 解決本題的關(guān)鍵抓住通過閉合回路的磁通量不變，棒中就不產(chǎn)生感應(yīng)電流，當(dāng)回路中既有動生電動勢又有感生電動勢時，要注意兩種電動勢的方向，相同就相加，方向相反就相減．