Question

2008年12月，天文學(xué)家通過觀測的數(shù)據(jù)確認(rèn)了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質(zhì)量與太陽質(zhì)量的關(guān)系．研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S₂繞“人馬座A*”做橢圓運(yùn)動，其軌道半長軸為9.50×10²個天文單位（地球公轉(zhuǎn)軌道的半徑為一個天文單位），“人馬座A*”就處在該橢圓的一個焦點(diǎn)上．觀測得到S₂星的運(yùn)行周期為15.2年．（計(jì)算結(jié)果保留一位有效數(shù)字）
（1）已知太陽質(zhì)量M_s=2.0×10³⁰kg，若將S₂星的運(yùn)行軌道視為半徑r=9.50×10²個天文單位的圓軌道，試估算“人馬座A*”的質(zhì)量M_A；
（2）理論計(jì)算表明，當(dāng)物體的速度達(dá)第一宇宙速度的

2

倍時，物體將逃離天體對它的引力，不再繞天體運(yùn)行．由黑洞理論可知，任何物體即使是光，也不能逃離黑洞．已知G=6.67×10^-11N?m²/kg²，c=3.0×10⁸m/s，求黑洞“人馬座A*”的最大半徑．

Answer 1

分析：（1）研究S₂星繞人馬座A*做圓周運(yùn)動，根據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式求出人馬座A*的質(zhì)量．
（2）根據(jù)題意得到人馬座A*的第一宇宙速度為

c

2

，然后根據(jù)萬有引力提供向心力得到半徑．

解答：解：（1）地球繞太陽運(yùn)行時，萬有引力提供向心力，有：
G

mM太

r 2 地

=m（

2π

T地

）²r_地             ①
同理S₂星繞“人馬座A*”運(yùn)行時
G

mMA

r 2 S

=m（

2π

TS

）²r_S               ②
解得：MA=

r 3 S T 2 地

r 3 地 T 2 S

MS=7×1036kg    ③
（2）物體繞“人馬座A*”運(yùn)行時
G

mMA

r2

=m

v2

r

                  ④
解得：v=

GMA r

由于r增大時，環(huán)繞速度變小，故半徑最大時，環(huán)繞速度最小，由題意可知，“人馬座A*”成為黑洞的條件是其環(huán)繞速度
v=

c

2

                       ⑤
解得：Rm=2G

MA

c2

=1×1010m
答：（1）“人馬座A*”的質(zhì)量為7×10³⁶kg；
（2）黑洞“人馬座A*”的最大半徑為1×10¹⁰m．

點(diǎn)評：本題關(guān)鍵是讀懂題意，然后多次根據(jù)萬有引力提供向心力列式，同時根據(jù)題意得到第一宇宙速度大小，最后聯(lián)立求解，較難．