(2011?安徽二模)如圖(a)所示,兩個平行的金屬板間接有圖(b)所示的交變電壓,板長為L=0.4m,板間距d=0.2m.在金屬板的右側即磁場的理想左邊界,磁場區(qū)域足夠大.磁感應強度B=5×10-3T,方向垂直紙面向里,現(xiàn)有一帶電粒子(不計重力)以v0=105m/s速度沿著極板中線從左端射人極板間.已知粒子的荷質比為q/m=108 C/kg,粒子通過電場區(qū)域的極短時間內(nèi),可以認為電場是恒定的.
(1)若粒子在t=0時刻射入,求粒子在磁場中運動的射人點到出射點間的距離;
(2)證明任意時刻射人電場的粒子,在磁場中運動的射人點與出射點間的距離都相等;
(3)求粒子射出電場時的最大速度.
分析:(1)帶電粒子在t=0時刻進入,電場強度為零,粒子將以v0的速度垂直磁場左邊界射入磁場中.由牛頓定律和幾何關系求解.
(2)粒子進入磁場后,由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運動,由牛頓定律和幾何關系證明射人點與出射點間的距離恒定.
(3)當粒子從極板邊緣離開電場時,側移量最大,電場力做功最多,粒子的速度最大.根據(jù)側移量,由牛頓定律和運動學公式求出此時電壓,由動能定理求出最大速度.
解答:解:(1)帶電粒子在t=0時刻進入,由題可知,粒子通過電場區(qū)域時間極短,因此粒子從進入電場到離開電場,板間電場強度始終為零,則粒子將以v0的速度垂直磁場左邊界射入磁場中.
    由牛頓第二定律,得
      qv0B=m
v
2
0
r

     得r=
mv0
qB
=0.2m
故粒子在磁場中運動的射人點到出射點間的距離S=2r=0.4m.
(2)設某時刻進入磁場的粒子速度為v,方向與水平方向成θ角,如右圖
     則v=
v0
cosθ

   粒子在磁場中運動時的軌跡半徑為
      r′=
mv
qB
=
mv0
qBcosθ

   粒子射人點到出射點間的距離S′=2r′cosθ=2
mv0
qB

      由(1)知S′=2r=0.4m
   故任意時刻射人電場的粒子,在磁場中運動的射人點與出射點間的距離都相等.
(3)設粒子進入電場時刻,板間的電壓為U,且粒子可以射出電場進入磁場.則
         y=
qU
2md
t2
,t=
L
v0

   當側移量y=
d
2
時,電場力對粒子做功最多,
       得到U=
md2
v
2
0
qL2

       代入解得U=25V
  由動能定理得
    q
U
2
=
1
2
m
v
2
m
-
1
2
m
v
2
0

   解得  vm=
5
2
×105m/s

答:(1)粒子在t=0時刻射入,在磁場中運動的射人點到出射點間的距離為0.4m;
    (2)略
    (3)粒子射出電場時的最大速度為
5
2
×105m/s
點評:本題考查帶電在電磁場中的運動,綜合考查了牛頓定律、動能定理、受力分析等方面的知識和規(guī)律.對考生的分析綜合能力、應用數(shù)學知識的能力要求較高.
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gR
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