Question

17．如圖所示，兩足夠長的平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為L=1m，導軌平面與水平面夾角α=30⁰，導軌電阻不計．磁感應強度為B₁=2T的勻強磁場垂直導軌平面向上，長為L=1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質量為m₁=2kg、電阻為R₁=1Ω．兩金屬導軌的上端連接右側電路，電路中通過導線接一對水平放置的平行金屬板，兩板間的距離和板長均為d=0.5m，定值電阻為R₂=3Ω，現(xiàn)閉合開關S并將金屬棒由靜止釋放，重力加速度為g=10m/s²，試求：

（1）金屬棒下滑的最大速度為多大？
（2）當金屬棒下滑達到穩(wěn)定狀態(tài)時，R₂消耗的電功率P為多少？
（3）當金屬棒穩(wěn)定下滑時，在水平放置的平行金屬間加一垂直于紙面向里的勻強磁場B₂=1.5T，在下板的右端且非�？拷�下板的位置有一質量為m₂=6×10^-4kg、帶電量為q=-2×10^-4C的液滴以初速度v水平向左射入兩板間，該液滴可視為質點．要使帶電粒子能從金屬板間射出，初速度v應滿足什么條件？（不計空氣阻力）

Answer 1

分析 （1）當金屬棒勻速下滑時速度最大，根據共點力的平衡條件結合閉合電路的歐姆定律、法拉第電磁感應定律求解；
（2）整個回路消耗的電功率為P=m₁gsinα•v_m，根據串聯(lián)電路的特點求解R₂消耗的電功率；
（3）當金屬棒穩(wěn)定下滑時，求出R₂兩端的電壓，分析粒子的電場力和重力的關系，確定粒子在磁場中做勻速圓周運動，根據帶電粒子從左上方邊界．右上方邊界射出的情況，畫出軌跡，根據幾何關系求解半徑，根據洛倫茲力提供向心力可得速度大小范圍．

解答 解：（1）當金屬棒勻速下滑時速度最大，設最大速度為v_m，
根據共點力的平衡條件可得：m₁gsinα=B₁IL，
而I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}=\frac{{B}_{1}L{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
所以有：m₁gsinα=$\frac{{{B}_{1}}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$，
解得：v_m=10m/s；
（2）整個回路消耗的電功率為P=m₁gsinα•v_m=2×10×0.5×10W=100W，
R₂消耗的電功率為：P₂=$\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}P=\frac{3}{1+3}×100W=75W$；
（3）當金屬棒穩(wěn)定下滑時，R₂兩端的電壓為U₂，則：
${U}_{2}=\frac{{B}_{1}L{v}_{m}}{{R}_{1}+{R}_{2}}•{R}_{2}=\frac{2×1×10}{4}×3V=15V$，上極板帶正電；
電場力為：$\frac{q{U}_{2}}yw9lcev$=$\frac{2×1{0}^{-4}×15}{0.5}N=6×1{0}^{-3}N$，
重力為m₂g=6×10^-3N，所以帶電粒子進入磁場做勻速圓周運動；
當帶電粒子從左上方邊界射出時速度為v₁，半徑為r₁，軌跡如圖所示，

根據幾何關系可得r₁=d=0.5m，
根據洛倫茲力提供向心力可得：qv₁B₂=m₂$\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}}$，
解得：v₁=0.25m/s；
同理可得，當帶電粒子從右上方邊界射出時速度為v₂，半徑為r₂，
根據幾何關系可得r₂=$\frac{1}{2}$=0.25m，
根據洛倫茲力提供向心力可得：qv₂B₂=m₂$\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}}$，
解得：v₁=0.125m/s；
所以速度范圍為v≥0.25m/s或v≤0.125m/s；
答：（1）金屬棒下滑的最大速度為10m/s；
（2）當金屬棒下滑達到穩(wěn)定狀態(tài)時，R₂消耗的電功率P為75W；
（3）速度范圍為v≥0.25m/s或v≤0.125m/s．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，重點是分析安培力作用下導體棒的平衡問題，根據平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉化問題，根據動能定理、功能關系等列方程求解；對于帶電粒子在磁場中的運動情況分析，一般是確定圓心位置，根據幾何關系求半徑，結合洛倫茲力提供向心力求解未知量；根據周期公式結合軌跡對應的圓心角求時間．