Question

7．如圖所示，一半徑r=0.2m的$\frac{1}{4}$光滑圓弧形槽底端B與水平傳帶相接，傳送帶的運行速度為v₀=4m/s，長為L=1.25m，滑塊與傳送帶間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，DEF為固定于豎直平面內(nèi)的一段內(nèi)壁光滑的中空方形細管，EF段被彎成以O為圓心、半徑R=0.25m的一小段圓弧，管的D端彎成與水平傳帶C端平滑相接，O點位于地面，OF 連線豎直．一質(zhì)量為M=0.1kg的物塊a從圓弧頂端A點無初速滑下，滑到傳送帶上后做勻加速運動，過后滑塊被傳送帶送入管DEF，管內(nèi)頂端F點放置一質(zhì)量為m=0.1kg的物塊b．已知a、b兩物塊均可視為質(zhì)點，a、b橫截面略小于管中空部分的橫截面，重力加速度g取10m/s²．求：

（1）滑塊a到達底端B時的速度v_B；
（2）滑塊a剛到達管頂F點時對管壁的壓力；
（3）滑塊a滑到F點時與b發(fā)生正碰并粘在一起飛出后落地，求落點到O點的距離x（不計空氣阻力）
（4）已知若a的質(zhì)量M≥m，a與b發(fā)生彈性碰撞，求物塊b滑過F點后在地面的首次落點到O點距離x的范圍．（$\sqrt{5}$=2.2）

Answer 1

分析 （1）滑塊從A下滑到B的過程中，支持力不做功，由機械能守恒定律求解速度v_B；
（2）先研究滑塊傳送帶上的運動過程，再研究滑塊沖上細管的過程：滑塊在傳送帶上做勻加速運動，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式結(jié)合求出滑塊到達C點時的速度，滑塊從C至F，由機械能守恒定律求出到達F點時的速度，由牛頓第二定律求出管道對滑塊的彈力，由牛頓第三定律即可解得滑塊在F點時對管壁的壓力；
（3）a、b碰撞過程，遵守動量守恒，即可求出碰后的共同速度，之后兩滑塊一起做平拋運動，運用運動的分解法求解滑塊a的落地點到O點的距離x．
（4）根據(jù)動量守恒和能量守恒定律得出b的速度表達式，得出b的速度范圍，結(jié)合平拋運動的規(guī)律求出物塊b滑過F點后在地面的首次落點到O點距離x的范圍．

解答 解：（1）設滑塊到達B點的速度為v_B，
由機械能守恒定律有：Mgr=$\frac{1}{2}$Mv_B²，
解得：v_B=$\sqrt{2gr}$=2m/s；
（2）滑塊在傳送帶上做勻加速運動，受到傳送帶對它的滑動摩擦力，由牛頓第二定律有：μMg=Ma，
滑塊對地位移為L，末速度為v_C，設滑塊在傳送帶上一直加速
由速度位移關系式：v_C²-v_B²=2aL，
代入數(shù)據(jù)解得v_C=3m/s＜4m/s，可知滑塊未達共速                 
滑塊從C至F，由機械能守恒定律有：$\frac{1}{2}$Mv_C²=MgR+$\frac{1}{2}$Mv_F²，
帶入數(shù)據(jù)解得：v_F=2m/s，
在F處由牛頓第二定律得：Mg+F_N=M$\frac{{v}_{F}^{2}}{R}$，
帶入數(shù)據(jù)解得：F_N=0.6N                                               
根據(jù)牛頓第三定律知，管上壁受壓力為0.6N，方向豎直向上．
（3）設碰撞后物塊a、b的速度為 v，規(guī)定a的速度方向為正方向，根據(jù)動量守恒得：
Mv_F=（M+m）v，
帶入數(shù)據(jù)解得：v=$\frac{{v}_{F}}{2}$=1m/s，
根據(jù)x=vt，R=$\frac{1}{2}$gt²，
帶入數(shù)據(jù)解得：x=$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
（4）設碰撞后物塊a、b的速度分別為V_a、V_b，以向右為正方向，由動量守恒定律得：
Mv_F=Mv_a+mv_b，
由機械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$Mv_F²=$\frac{1}{2}$Mv_a²+$\frac{1}{2}$mv_b²，
聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)解得：v_b=$\frac{2{v}_{F}}{1+\frac{m}{M}}$，
因為M≥m，由上式可知，碰撞后V_F≤V_b＜2V_F，即：2m/s≤V_b＜4m/s
物塊b離開E點后做平拋運動，設時間為t，首次落點到O點的距離為x，則有x=v_b•t，R=$\frac{1}{2}$gt²，
由以上三式聯(lián)立解得：0.44m≤x＜0.88m
答：（1）滑塊a到達底端B時的速度為2m/s；
（2）滑塊a剛到達管頂F點時對管壁的壓力為0.6N；
（3）落點到O點的距離x為$\frac{\sqrt{5}}{10}$．
（4）物塊b滑過F點后在地面的首次落點到O點距離x的范圍為 0.44m≤x＜0.88m

點評 本題按時間順序進行分析，關鍵要把握每個過程所遵守的物理規(guī)律，運用機械能守恒、牛頓第二定律、運動學公式結(jié)合進行求解．