Question

14．如圖所示，水平面AB段粗糙，其余部分光滑，左側(cè)固定一根輕質(zhì)彈簧，右側(cè)與豎直平面內(nèi)的光滑圓形導(dǎo)軌在B點連接．導(dǎo)軌半徑R=0.5m，現(xiàn)用一個質(zhì)量m=2kg的小球壓縮彈簧，彈簧與小球不拴接．用手擋住小球不動，此時彈簧彈性勢能E_P=49J．放手后小球向右運動脫離彈簧后先經(jīng)過水平面AB段，再沿圓形軌道向上運動恰能通過最高點C，取g=10m/s²，
（1）求小球脫離彈簧時的速度大小；
（2）求小球從A到B克服阻力做的功；
（3）若其他條件不變，而導(dǎo)軌半徑R的大小不確定，則當(dāng)R為多大時，小球落回到水平面時落地點與B點間距離最大．

Answer 1

分析 （1）在小球脫離彈簧的過程中只有彈簧彈力做功，根據(jù)彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系和動能定理可以求出小球的脫離彈簧時的速度v；
（2）小球從B到C的過程中只有重力和阻力做功，根據(jù)小球恰好能通過最高點的條件得到小球在最高點時的速度，從而根據(jù)動能定理求解從B至C過程中小球克服阻力做的功；
（3）小球離開C點后做平拋運動，將運動分解即可求出結(jié)果．

解答 解：（1）小球從A點開始至小球脫離彈簧的過程中根據(jù)彈力做功與彈性勢能變化的關(guān)系有：
W_彈=-△E_P彈=-（0-E_p）=49J
對小球而言，此過程只有彈力做功，故有：${W}_{彈}=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-0$，
得小球脫離彈簧時的速度為：${v}_{0}=\sqrt{\frac{2{W}_{彈}}{m}}=\sqrt{\frac{2×49}{2}}m/s=7$m/s
（2）小球恰好能通過最高點C，故在最高點小球只受重力作用，根據(jù)牛頓第二定律有：$mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
得小球在C點時的速度為：${v}_{C}=\sqrt{gR}=\sqrt{10×0.5}m/s=\sqrt{5}$m/s
因為AB段光滑，小球在B點時的速度等于小球脫離彈簧時的速度即：v_A=v=7m/s
在從B至C的過程中只有重力和阻力做功，根據(jù)動能定理有：$-mg•2R-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得阻力做功為：W_f=-24J
所以從B至C的過程中小球克服阻力做功24J；
（3）小球從A到B的過程中，由動能定理得：$-{W}_{f}=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：v_B=5m/s
小球從B到C，由動能定理得：$-mg•2R=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
則：${v}_{C}=\sqrt{25-40R}$
小球離開C做平拋運動，豎直方向：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
則：$t=\sqrt{\frac{2R}{5}}$
水平方向：x=v_Ct
代入數(shù)據(jù)得：$x=\frac{1}{2}\sqrt{（5-8R）•8R}$
由基本不等式知識得，當(dāng)5-8R=8R時，即$R=\frac{5}{16}m$時，小球落回到水平面時落地點與B點間距離最大．
答：（1）小球脫離彈簧時的速度大小是7m/s；
（2）小球從A到B克服阻力做的功24J；
（3）若其他條件不變，而導(dǎo)軌半徑R的大小不確定，則當(dāng)R為$\frac{5}{16}$m時，小球落回到水平面時落地點與B點間距離最大．

點評 本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出物體經(jīng)過B、C兩點的速度，再結(jié)合動能定理、平拋運動的知識求解．