Question

7．如圖所示，一質(zhì)量為M，長為L的木板放在水平面上，板的A端站著一個(gè)質(zhì)量為m的人，人與板，板與地面間的摩擦因數(shù)分別為μ₂和μ₁，且有μ₂＞＞μ₁，人由靜止開始向B端勻加速奔跑，到達(dá)B端時(shí)相對板突然停下，然后人與板一起滑行s距離．若要s最大，則人在板上加速度大小為多少？s的最大值為多少？

Answer 1

分析 結(jié)合題目給出的條件μ₂＞＞μ₁，以及動量定理，分析人到達(dá)木板的右側(cè)時(shí)的共同速度，然后結(jié)合動能定理即可求出．

解答 解：人在木板上跑動的過程中，人與木板之間的作用力是系統(tǒng)的內(nèi)力，木板受到的摩擦力是外力，設(shè)人在跑動的過程中木板受到的摩擦力為f，當(dāng)人跑到B端時(shí)相對于木板靜止后，人與木板組成的系統(tǒng)滿足動量定理，即ft=（M+m）v．
①若該過程中木板相對于地面向左運(yùn)動，則木板受到的摩擦力的大小都是相等的始終是μ₁（m+M）g，當(dāng)人跑到B端時(shí)相對于木板靜止后滿足μ₁（m+M）gt=（M+m）v
可知人運(yùn)動的時(shí)間越長，則系統(tǒng)的速度越大；而根據(jù)相對運(yùn)動的特點(diǎn)可知，所以當(dāng)木板恰好要相對于地面要運(yùn)動時(shí)，人運(yùn)動的時(shí)間最長，系統(tǒng)獲得的速度最大，則人與板一起滑行S距離最大．
②若該過程中木板相對于地面沒有運(yùn)動，設(shè)木板受到的摩擦力的大小是f，人運(yùn)動到達(dá)B端的時(shí)間為t，則ft=（M+m）v   ①
當(dāng)人跑到B端時(shí)相對于木板靜止后，人與木板受到的摩擦力大小為：f′=μ₁（M+m）g   ②
設(shè)人與木板相對于地面靜止的過程中的位移為S，由動能定理得：$-f′S=0-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$   ③
聯(lián)立①②③得：$\frac{1}{2}（M+m）•\frac{{f}^{2}{t}^{2}}{（M+m）^{2}}={μ}_{1}（M+m）gS$  ④
對人在木板上運(yùn)動的過程中，由于木板相對于地面靜止，則木板受到的人對木板的選擇的摩擦力與木板受到的地面對木板的向右的摩擦力大小相等，所以木板對人的摩擦力大小等于地面對木板的摩擦力的大小，即f．對人：f=ma   ⑤
人到達(dá)B端的過程：$\frac{1}{2}a{t}^{2}=L$  ⑥
聯(lián)立⑤⑥得：ft²=2mL   ⑦
將⑦式代入④得：$\frac{f•mL}{（M+m）^{2}}={μ}_{1}gS$  ⑧
可知，木板受到的摩擦力f越大，則人與板一起滑行S距離越大．所以當(dāng)木板恰好要相對于地面要運(yùn)動時(shí)，則人與板一起滑行S距離最大．
綜合以上的分析可知，當(dāng)木板恰好要相對于地面滑動時(shí)，人與板一起滑行S距離最大．此時(shí)f=f′=μ₁（M+m）g  ⑨
人的加速度：a=$\frac{f}{m}=\frac{{μ}_{1}（M+m）}{m}g$
將⑨代入⑧得：$S=\frac{mL}{（M+m）}$
答：當(dāng)木板恰好要相對于地面要運(yùn)動時(shí)，則人與板一起滑行S距離最大，此時(shí)人的加速度是$\frac{{μ}_{1}（M+m）}{m}g$，S的最大值是$\frac{mL}{M+m}$．

點(diǎn)評 該題中，人在木板上運(yùn)動的過程中木板受到的摩擦力越大，運(yùn)動的時(shí)間越長，則人和木板獲得的水平方向的動量越大，結(jié)合相應(yīng)的公式判斷出系統(tǒng)具有的最大速度是解答的關(guān)鍵．