Question

如圖甲所示，在光滑絕緣的水平桌面上建立一xoy坐標系，平面處在周期性變化的電場和磁場中，電場和磁場的變化規(guī)律如圖乙所示（規(guī)定沿+y方向為電場強度的正方向，豎直向下為磁感應強度的正方向）．在t=0時刻，一質量為10g、電荷量為0.1C的帶電金屬小球自坐標原點O處，以v₀=2m/s的速度沿x軸正方向射出．已知E₀=0.2N/C、B₀=0.2πT．求：
（1）t=1s末速度的大小和方向；
（2）1s～2s內，金屬小球在磁場中做圓周運動的半徑和周期；
（3）在給定的坐標系中，大體畫出小球在0到6S內運動的軌跡示意圖．
（4）6s內金屬小球運動至離x軸最遠點的位置坐標．

Answer 1

分析：（1）第一秒內粒子做類似平拋運動，根據牛頓第二定律和運動學公式列式求解；
（2）根據洛倫茲力提供向心力列式求解軌道半徑，由圓周運動公式求得周期；
（3）粒子奇數秒內做類似平拋運動，偶數秒內做勻速圓周運動，軌道半徑逐漸增大，畫出軌跡．
（4）先求出5s末的位置坐標和速度大小和方向，再求出第6s內的軌道半徑，畫出軌跡，最后求離x軸最遠距離．

解答：解：（1）在0～1s內，金屬小球在電場力作用下，在x軸方向上做勻速運動v_x=v₀
y方向做勻加速運動vy=

qE0

m

t1
1s末粒子的速度v1=

v 2 x + v 2 y

=2

2

m/s
設v₁與x軸正方向的夾角為α，則tanα=

vy

vx

α=45°．
（2）在1s～2s內，粒子在磁場中做圓周運動，由牛頓第二定律qv1B0=

m v 2 1

R1

得
  R1=

mv1

qB0

=

2

π

m                    
粒子做圓周運動的周期T=

2πm

qB0

=1s
（3）粒子運動軌跡如圖所示

（4））5s末粒子的坐標為x=v₀t=6m  y=

1

2

at²=9m
此時粒子y軸方向的速度：v_y=

qE0t

m

=6m/s
合速度大小為v=

v02+vy2

=2

10

m/s
第6s內粒子做圓周運動的半徑r=

mv

qB

=

10

π

m
帶電粒子在第6s內做圓周運動的軌跡如圖所示

第6s內粒子運動至離x軸最遠點坐標為X=x-Rnsinθ=6-

3

π

（ m ）             
其中sinθ=

vy

v0

=

6

2 10

Y=y+Rn(1+cosθ)=(n2+

n2+1

π

+

1

π

)=9+

10 +1

π

（m ）    
其中cosθ=

v0

v

=

2

2 10

答：（1）t=1s末速度的大小是2

2

m/s，方向與x軸成45°角；
（2）1s～2s內，金屬小球在磁場中做圓周運動的半徑為

2

π

m，周期為1s；
（3）畫出小球在0到6S內運動的軌跡示意圖如圖．
（4）6s內金屬小球運動至離x軸最遠點的位置坐標是[（6-

3

π

）m，（9+

10 +1

π

）m]．

點評：本題中粒子奇數秒內做類似平拋運動，偶數秒內做勻速圓周運動，關鍵是畫出運動軌跡并根據平拋運動規(guī)律和勻速圓周運動規(guī)律列式分析．