Question

8．如圖所示，一光滑金屬直角形導軌aOb豎直放置，Ob邊水平．導軌單位長度的電阻為ρ，電阻可忽略不計的金屬桿cd搭在導軌上，接觸點為M、N．t=0時，MO=NO=L，B為一勻強磁場，方向垂直紙面向外．（磁場范圍足夠大，桿與導軌始終接觸良好，不計接觸電阻）
（1）若使金屬桿cd以速率v₁勻速運動，且速度始終垂直于桿向下，求金屬桿所受到的安培力隨時間變化的表達式；
（2）若保證金屬桿接觸點M不動，N以速度v₂向右勻速運動，求電路中電流隨時間的表達式；
（3）在（1）問的基礎上，已知桿的質量為m，重力加速度g，則求t時刻外力F的瞬時功率．

Answer 1

分析 （1）經(jīng)過t時間，金屬桿沿速度方向的位移x=v₁t，根據(jù)幾何關系求出導體棒的長度，再根據(jù)E=BLv結合歐姆定律和安培力公式求解；
（2）根據(jù)歐姆定律、電阻定律以及E=BLv求解；
（3）P_F安=P_F+P_G，再根據(jù)安培力和重力的瞬時功率，從而求出F得瞬時功率即可．

解答 解：（1）經(jīng)過t時間，產(chǎn)生的感應電動勢E=BL′v₁，
感應電流為I=$\frac{E}{{R}_{總}}$=$\frac{BL′{v}_{1}}{{R}_{總}}$，
安培力F_安=BIL′=$\frac{{B}^{2}L{′}^{2}{v}_{1}}{{R}_{總}}$，
由幾何關系可知L'=2（$\frac{\sqrt{2}}{2}$L+v₁t）=$\sqrt{2}$L+2v₁t，導軌接入閉合電路的長度為2×$\frac{\sqrt{2}}{2}$L'=$\sqrt{2}$L'，
則R_總=$\sqrt{2}$L'ρ．
由以上式子可得F_安=$\frac{{B}^{2}{v}_{1}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}$．
（2）N以速度v₂向右勻速運動，則導軌水平方向的長度為L+v₂t，
根據(jù)歐姆定律得：$I′=\frac{E′}{R}$，
而$E′=BL′\overline{v}$，且$L′=\frac{L}{cosθ}$，$\overline{v}=\frac{0+{v}_{⊥}}{2}$，v_⊥=v₂cosθ，
根據(jù)電阻定律得：R=ρ（2L+v₂t），
解得：$I′=\frac{BL{v}_{2}}{2ρ（2L+{v}_{2}t）}$
（3）P_F安=P_F+P_G，
而P_F安=F_安v₁，且P_G=mgv₁cos45°，
解得：${P}_{F}=\frac{{B}^{2}{{v}_{1}}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}-\frac{\sqrt{2}mg{v}_{1}}{2}$
答：（1）若使金屬桿cd以速率v₁勻速運動，且速度始終垂直于桿向下，金屬桿所受到的安培力隨時間變化的表達式為F=$\frac{\sqrt{2}{B}^{2}{v}_{1}}{2ρ}（\sqrt{2}L+2{v}_{1}t）$；
（2）若保證金屬桿接觸點M不動，N以速度v₂向右勻速運動，電路中電流隨時間的表達式為$I′=\frac{BL{v}_{2}}{2ρ（2L+{v}_{2}t）}$；
（3）在（1）問的基礎上，已知桿的質量為m，重力加速度g，則t時刻外力F的瞬時功率為$\frac{{B}^{2}{{v}_{1}}^{2}（L+\sqrt{2}{v}_{1}t）}{ρ}-\frac{\sqrt{2}mg{v}_{1}}{2}$．

點評 本題主要考查了電磁感應定律、歐姆定律、電阻定律的直接應用，要求同學們能正確分析電路結構，清楚導體棒有效長度的物理意義，難度較大，屬于難題．