Question

4．一顆衛(wèi)星以軌道半徑r繞一半徑為R的行星做圓周運動，運行周期為T．已知萬有引力常量為G，求：
（1）該行星的質(zhì)量為M
（2）該行星的表面的重力加速度g
（3）該行星的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力，結(jié)合軌道半徑和周期求出行星的質(zhì)量．
（2）根據(jù)行星表面萬有引力等于重力得出行星表面的重力加速度．
（3）根據(jù)行星表面萬有引力提供向心力求解第一宇宙速度v．

解答 解：（1）據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力有$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$可得：
$M=\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$得：
g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
（3）根據(jù)$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}=mg$得：
v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{R{T}^{2}}}$
答：（1）該行星的質(zhì)量為M為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）該行星的表面的重力加速度g為$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$；
（3）該行星的第一宇宙速度v為$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{R{T}^{2}}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力這兩個理論，并能靈活運用，難度適中．