Question

如圖所示，在廣闊的宇宙空間存在這樣一個(gè)遠(yuǎn)距其他空間的區(qū)域，以MN為界，上部分的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁，下部分的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂，B₁=2B₂=2B₀、方向相同，且磁場(chǎng)區(qū)域足夠大．在距離界線(xiàn)為h的P點(diǎn)有一宇航員處于靜止?fàn)顟B(tài)，宇航員以平行于界線(xiàn)的速度拋出一質(zhì)量為m、帶電荷量為-q的小球，發(fā)現(xiàn)球在界線(xiàn)處的速度方向與界線(xiàn)成60°角進(jìn)入下部分磁場(chǎng)，然后當(dāng)宇航員沿與界線(xiàn)平行的直線(xiàn)勻速到達(dá)目標(biāo)Q時(shí)，剛好又接住球而靜止．求：
（1）小球在兩個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑大�。ㄓ胔表示）和小球的速度；
（2）宇航員的質(zhì)量M（用m表示）．

Answer 1

分析：（1）畫(huà)出在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，由幾何知識(shí)求出軌跡的半徑，由牛頓第二定律求解小球在磁場(chǎng)中的速度大小；
（2）分別計(jì)算出粒子在B₁、B₂場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，結(jié)合軌跡圖分析求得人的運(yùn)動(dòng)速度，宇航員拋球時(shí)相互作用滿(mǎn)足動(dòng)量守恒，由此列式可求得宇航員的質(zhì)量

解答：解：（1）小球在B₁、B₂中受洛侖茲力作用分別做半徑為R₁、R₂的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，
據(jù)牛頓第二定律有 qv₀B₁=m

v 2 0

R1

，qv₀B₂=m

v 2 0

R2

解得 R₁=

mv0

qB1

，R₂=

mv0

qB2

如圖所示，據(jù)幾何關(guān)系有  h+

R1

2

=R₁  解得  R₁=2h  由于B₁=2B₂=2B₀所以 R₂=2 R₁=4h
則   v₀=

4qB0h

m

                       
（2）小球在B₁、B₂中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期分別為T(mén)₁、T₂
則 T₁=

2πR1

v0

=

πm

qB0

T₂=

2πR2

v0

=

2πm

qB0

小球在B₁中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為  t₁=2×

T1

6

=

πm

3qB0

小球在B₂中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為  t₂=

2T2

3

=

4πm

3qB0

故   t=t₁+t₂=

5πm

3qB0

設(shè)小球軌跡的圓心O₁與P點(diǎn)連線(xiàn)交邊界MN于P′，據(jù)幾何關(guān)系有

.

P′M

=

3

2

R1=

3

h

.

AM

=

3

2

R2=2

3

h

.

AP′

=

.

AM

-

.

P′M

=

3

h
故  

.

PQ

=2

.

AP′

=2

3

h
宇航員勻速運(yùn)動(dòng)速度  v=

. PQ

t

=

6 3 qB0h

5πm

宇航員拋球時(shí)相互作用滿(mǎn)足動(dòng)量守恒  mv₀=Mv                          
解得  M=

mv0

v

=

10πm

3 3

=

10 3 πm

9

答：（1）小球在兩個(gè)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為2h，4h；小球的速度為

4qB0h

m

；
（2）宇航員的質(zhì)量M=

10 3 πm

9

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵是根據(jù)小球的運(yùn)動(dòng)正確的做出在磁場(chǎng)中的 運(yùn)動(dòng)軌跡圖，運(yùn)動(dòng)和幾何關(guān)系相結(jié)合列式分析，偏難題目．