Question

宇宙中存在由質量相等的四顆星組成的四星系統(tǒng)，四星系統(tǒng)離其他恒星較遠，通�？珊雎云渌�星體對四星系統(tǒng)的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的四星系統(tǒng)存在兩種基本的構成形式：一種是四顆星穩(wěn)定地分布在邊長為a的正方形的四個頂點上，均圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動；另一種形式是有三顆星位于等邊三角形的三個項點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，而第四顆星剛好位于三角形的中心不動．已知每個星體的質量均為m，引力常量為G．試求：
（1）第一種形式下，星體運動的線速度．
（2）第一種形式下，星體運動的周期；
（3）假設兩種形式星體的運行周期相同，求第二種形式下星體運動的軌道半徑．

Answer 1

分析：星球間的相互作用提供圓周運動向心力，根據(jù)幾何關系求解圓周運動的向心力，根據(jù)運動的合成求星所受其它星球引力的合力提供向心力，列式求解．

解答：解：（1）第一種形式，設軌道半徑為r，則據(jù)幾何關系有：r=

2

2

a
以任一星體為研究對象，作受力圖有：


∵如圖以D為研究對象，D受三個力的合力提供D圍繞圓周運動的向心力則有：
G

m2

( 2 a)2

+2G

m2

a2

cos450=m

v2

r

∴v=

(4+ 2 )Gm 4a

（2）根據(jù)周期定義有：
T=

2πr

v

∴可得：T=2πa

2a (4+ 2 )Gm

（3）第二種形式，設軌道半徑為R，則位于等邊三角形頂點的兩星間距離為：L=2Rcos30°以做圓周運動的任一星體為研究對象：

∵G

m2

R2

+2G

m2

L2

cos300=m(

2π

T

)2R
∴R=a

3	6+2 3 12+3 2

答：（1）第一種形式下，星體運動的線速度v=

(4+ 2 )Gm 4a

．
（2）第一種形式下，星體運動的周期T=2πa

2a (4+ 2 )Gm

；
（3）假設兩種形式星體的運行周期相同，求第二種形式下星體運動的軌道半徑R=a

3	6+2 3 12+3 2

．

點評：多個星球間的萬有引力的合力提供星球的圓周運動的向心力，熟練掌握星球間的幾何關系，并用平行四邊形定則求出星球的合力，是解決本題的關鍵．