Question

9．相距L=1.5m的足夠長金屬導(dǎo)軌豎直放置，質(zhì)量為m₁=1kg的金屬棒ab和質(zhì)量為m₂=0.27kg的金屬棒cd均通過棒兩端的套環(huán)水平地套在金屬導(dǎo)軌上，如圖（a）所示，虛線上方磁場方向垂直紙面向里，虛線下方磁場方向豎直向下，兩處磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相同．a(chǎn)b棒光滑，cd棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)為μ=0.75，兩棒總電阻為1.8Ω，導(dǎo)軌電阻不計．a(chǎn)b棒在方向豎直向上，大小按圖（b）所示規(guī)律變化的外力F作用下，從靜止開始，沿導(dǎo)軌勻加速運(yùn)動，同時cd棒也由靜止釋放．

（1）指出在運(yùn)動過程中ab棒中的電流方向和cd棒受到的安培力方向；
（2）求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和ab棒加速度大�。�
（3）已知在2s內(nèi)外力F做功40J，求這一過程中兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱；
（4）cd棒將做怎樣的運(yùn)動？求出cd棒達(dá)到最大速度所需的時間t₀．

Answer 1

分析 （1）由右手定則判斷ab棒中感應(yīng)電流方向，由左手定則判斷cd棒所受的安培力方向．
（2）由E=BLv、I=$\frac{E}{R}$、F=BIL、v=at，及牛頓第二定律得到F與時間t的關(guān)系式，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識研究圖象（b）斜率和截距的意義，即可求磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和ab棒加速度大�。�
（3）由運(yùn)動學(xué)公式求出2s末金屬棒ab的速率和位移，根據(jù)動能定理求出兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱．
（4）分析cd棒的運(yùn)動情況：cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動，當(dāng)cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達(dá)到最大；然后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動，最后停止運(yùn)動．
cd棒達(dá)到最大速度時重力與摩擦力平衡，而cd棒對導(dǎo)軌的壓力等于安培力，可求出電路中的電流，再由E=BLv、歐姆定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合求解時間t₀．

解答 解：（1）在運(yùn)動過程中ab棒中的電流方向向左（b→a），cd棒受到的安培力方向垂直于紙面向里．
（2）經(jīng)過時間t，金屬棒ab的速率 v=at
此時，回路中的感應(yīng)電流為：I=$\frac{BLv}{R}$
對金屬棒ab，由牛頓第二定律得：
F-mg-BIL=ma
在圖線上取兩點(diǎn)：t₁=0，F(xiàn)₁=11N；t₂=2s，F(xiàn)₂=14.6N，
代入上式得：a=1m/s²  B=1.2T
（3）在2s末金屬棒ab的速率為：v_t=at=2m/s
所發(fā)生的位移為：s=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$=2m
由動能定律得：W_F-m₁gs-W_安=$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{t}^{2}$
又Q=W_安
聯(lián)立以上方程，解得：Q=W_F-m₁gs-$\frac{1}{2}{m}_{1}{v}_{t}^{2}$=18J 
（4）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動，當(dāng)cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達(dá)到最大；后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動，最后停止運(yùn)動．
當(dāng)cd棒速度達(dá)到最大時，有m₂g=μF_N
又F_N=F_安 F_安=BIL  I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BL{v}_{m}}{R}$，v_m=at₀
整理解得：v_m=$\frac{{m}_{2}gR}{μ{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.27×10×1.8}{0.75×1．{2}^{2}×1．{5}^{2}}$=2m/s
t₀=$\frac{{v}_{m}}{a}$=2s
（3）答：（1）在運(yùn)動過程中ab棒中的電流方向向左（b→a），cd棒受到的安培力方向垂直于紙面向里；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是1.2T，ab棒加速度大小是1m/s²；
（3）已知在2s內(nèi)外力F做功40J，這一過程中兩金屬棒產(chǎn)生的總焦耳熱是18J；
（4）cd棒先做加速度逐漸減小的加速運(yùn)動，當(dāng)cd棒所受重力與滑動摩擦力相等時，速度達(dá)到最大；后做加速度逐漸增大的減速運(yùn)動，最后停止運(yùn)動．cd棒達(dá)到最大速度所需的時間t₀是2s．

點(diǎn)評 本題中cd棒先受到滑動摩擦，后受到靜摩擦，發(fā)生了突變，要仔細(xì)耐心分析這個動態(tài)變化過程．滑動摩擦力與安培力有關(guān)，呈現(xiàn)線性增大．