Question

13．如圖所示，輕質彈簧的一端固定，另一端連接一個物塊（可視為質點）．物塊的質量為m，可在光滑的水平桌面上沿x軸運動．物塊的質量為m，可在光滑的水平桌面上沿x軸運動．彈簧原長時物塊的位置為坐標原點O，彈簧的勁度系數(shù)為k．彈簧的形度均在彈性限度內．

（1）請畫出F隨彈簧的伸長量x變化的關系圖象．
（2）根據(jù)F-x圖象求物塊沿x軸從O點運動到位置x的過程中彈力所做的功．
（3）若物塊由位置x₁向右運動到x₃，然后由x₃返回到x₂，求在這個過程中彈力所做的功．
（4）已知彈力做的功等于彈性勢能的減少量，根據(jù)（3）的結論推出彈性勢能的表達式，并說明式中各量的意義．

Answer 1

分析 （1）由胡克定律可得出F與x的關系式，則可得出對應的圖象；
（2）彈力所做的功等于F-x圖象與坐標軸所圍成的面積大�。�由幾何知識即可求得彈力做功；
（3）彈力做功與路徑無關，只與初末位置有關，結合上題的方法求出彈力做功．
（4）根據(jù)彈力做的功等于彈性勢能的減少量，得到彈性勢能的表達式．

解答 解：（1）由胡克定律有 F=kx，則F-x圖象如圖所示；
（2）物塊沿x軸從O點運動到位置x的過程中彈力所做的功等于F-x圖象與坐標軸所圍成的面積大小，由幾何知識可得：
彈力做功為：W=-$\frac{Fx}{2}$=-$\frac{kx•x}{2}$=-$\frac{1}{2}k{x}^{2}$
（3）物塊由位置x₁向右運動到x₃，然后由x₃返回到x₂的過程中彈力所做的功等于物塊由位置x₁向右運動到x₂的過程中彈力所做的功，為：W′=-$\frac{（k{x}_{1}+k{x}_{2}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{2}$=-$\frac{1}{2}k（{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}）$
（4）物塊由位置O向右運動到位置x的過程中，克服彈力做功等于彈性勢能的增加量，則彈性勢能為：E_p=|W|=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$，式中k是彈簧的勁度系數(shù)，x是彈簧伸長的長度或壓縮的長度．
答：（1）畫出F隨彈簧的伸長量x變化的關系圖象如圖．
（2）物塊沿x軸從O點運動到位置x的過程中彈力所做的功為-$\frac{1}{2}k{x}^{2}$．
（3）若物塊由位置x₁向右運動到x₃，然后由x₃返回到x₂，在這個過程中彈力所做的功為-$\frac{1}{2}k（{x}_{2}^{2}-{x}_{1}^{2}）$．
（4）彈性勢能表達式為 E_p=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$，式中k是彈簧的勁度系數(shù)，x是彈簧伸長的長度或壓縮的長度．

點評 本題考查功能關系的應用及圖象的正確應用，在解決物理問題時一定要注意知識的遷移，通過本題可掌握求變力功的一種方法：圖象法．