Question

【題目】為了進(jìn)一步提高回旋加速器的能量，科學(xué)家建造了“扇形聚焦回旋加速器”。在扇形聚焦過(guò)程中，離子能以不變的速率在閉合平衡軌道上周期性旋轉(zhuǎn)。
扇形聚焦磁場(chǎng)分布的簡(jiǎn)化圖如圖所示，圓心為O的圓形區(qū)域等分成六個(gè)扇形區(qū)域，其中三個(gè)為峰區(qū)，三個(gè)為谷區(qū)，峰區(qū)和谷區(qū)相間分布。峰區(qū)內(nèi)存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，谷區(qū)內(nèi)沒(méi)有磁場(chǎng)。質(zhì)量為m，電荷量為q的正離子，以不變的速率v旋轉(zhuǎn)，其閉合平衡軌道如圖中虛線所示。

（1）求閉合平衡軌道在峰區(qū)內(nèi)圓弧的半徑r，并判斷離子旋轉(zhuǎn)的方向是順時(shí)針還是逆時(shí)針；
（2）求軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)圓弧的圓心角θ，及離子繞閉合平衡軌道旋轉(zhuǎn)的周期T；
（3）在谷區(qū)也施加垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B' ，新的閉合平衡軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)的圓心角θ變?yōu)?0°，求B'和B的關(guān)系。已知：sin（α±β ）=sinαcosβ±cosαsinβ，cosα=1-2

Answer 1

【答案】
（1）

解：封區(qū)內(nèi)圓弧半徑 ①

旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颌?/span>

答：閉合平衡軌道在峰區(qū)內(nèi)圓弧的半徑r為 ，旋轉(zhuǎn)方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?/span>

（2）

解：）由對(duì)稱性，封區(qū)內(nèi)圓弧的圓心角 ③

每個(gè)圓弧的長(zhǎng)度 ④

每段直線長(zhǎng)度 ⑤

周期 ⑥

代入得 ⑦

答：軌道在一個(gè)峰區(qū)內(nèi)圓弧的圓心角θ，及離子繞閉合平衡軌道旋轉(zhuǎn)的周期

（3）

解：

谷區(qū)內(nèi)的圓心角 ⑧

谷區(qū)內(nèi)的軌道圓弧半徑 ⑨

由幾何關(guān)系 ⑩

由三角關(guān)系

代入得

答：B'和B的關(guān)系為

【解析】（1）根據(jù)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式和左手定則求解（2）離子在峰區(qū)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓弧，在谷區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)幾何關(guān)系求出圓弧所對(duì)的圓心角，根據(jù)t＝ 求出離子繞閉合平衡軌道一周的時(shí)間，即離子繞閉合平衡軌道旋轉(zhuǎn)的周期T（3）根據(jù)幾何關(guān)系求出谷區(qū)圓弧所對(duì)的圓心角，峰區(qū)和谷區(qū)圓弧的弦長(zhǎng)相等，列出等式求出B′與B之間的關(guān)系；
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用勻速圓周運(yùn)動(dòng)和洛倫茲力，掌握勻速圓周運(yùn)動(dòng)線速度的大小恒定，角速度、周期和頻率都是恒定不變的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不變的，是速度大小不變而速度方向時(shí)刻在變的變速曲線運(yùn)動(dòng)；洛倫茲力始終垂直于v的方向，所以洛倫茲力一定不做功即可以解答此題．